2014-陕西卷理-18 解-向量坐标运算

本题导读

本题考查平面向量的坐标运算、三角形重心的性质以及线性规划。第一问通过向量线性关系确定点 P 为三角形重心并求模长；第二问利用向量基底表示将参数问题转化为解析几何中的线性规划问题。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(理)） 在直角坐标系 $xOy$ 中，已知点 $A(1,1),B(2,3),C(3,2)$，点 $P(x,y)$ 在 $△ABC$ 三边围成的区域（含边界）上.

(1) 若 $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\vec{0}$，求 $|\overrightarrow{OP}|$；

(2) 设 $\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$ ($m,n\in \mathbb{R}$)，用 $x,y$ 表示 $m-n$，并求 $m-n$ 的最大值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：向量平衡点与重心
   • 利用向量加法的坐标运算。由 $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\vec{0}$ 可知 $P$ 为 $△ABC$ 的重心。
   • 计算重心坐标：$x_P=\frac{x_A+x_B+x_C}{3},y_P=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}$。
   • 利用模长公式 $|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{x_P^2+y_P^2}$。
2. 第二问：线性表示与线性规划
   • 向量坐标化：先计算 $\overrightarrow{AB}=(1,2)$ 和 $\overrightarrow{AC}=(2,1)$。
   • 建立方程组：根据 $\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$，列出关于 $m,n,x,y$ 的方程组。
   • 消元表达：解方程组，用 $x,y$ 表达出 $m-n$。
   • 线性规划：将 $m-n$ 看作目标函数 $z=f(x,y)$，在 $△ABC$ 区域内通过平移直线法求最值。

✅【答案】

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所以 $|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。；所以 $m-n$ 的最大值为 $1$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 因为 $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\vec{0}$， 由向量减法的定义可知：$(\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OP})+(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OP})+(\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OP})=\vec{0}$。 整理得：$3\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}$， 即 $\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC})$。 代入点 $A,B,C$ 的坐标： $\overrightarrow{OP}=\frac{1}{3}(1+2+3,1+3+2)=(2,2)$。 所以 $|\overrightarrow{OP}|=\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$。

(2) 解： 已知 $\overrightarrow{AB}=(2-1,3-1)=(1,2)$，$\overrightarrow{AC}=(3-1,2-1)=(2,1)$。 由 $\overrightarrow{OP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}$ 得： $(x,y)=m(1,2)+n(2,1)=(m+2n,2m+n)$。 由此得到方程组： $\{\begin{array}{l}m+2n=x\text{(1)}\\ 2m+n=y\text{(2)}\end{array}$ 用 ② 式减去 ① 式得： $m-n=y-x$。

令目标函数 $z=y-x$，即直线 $y=x+z$。 当直线 $y=x+z$ 经过点 $B(2,3)$ 时，截距 $z$ 取得最大值。 代入 $B(2,3)$ 得： $z_{max}=3-2=1$。 所以 $m-n$ 的最大值为 $1$。


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量的坐标运算、三角形重心坐标与线性规划

2. 核心方法：第一问由 $\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}=\vec{0}$ 得重心坐标求模；第二问将向量基底表示化为线性目标函数 $m-n=y-x$，用线性规划求最值

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 向量共线定理、线性规划的截距意义。

2. 结论推广: 若 $\overrightarrow{OP}={\lambda }_1\overrightarrow{OA}+{\lambda }_2\overrightarrow{OB}+{\lambda }_3\overrightarrow{OC}$ 且 $\sum {\lambda }_i=1$，则 $P$ 点必在 $△ABC$ 所在的平面上。

3. 方法推广: 涉及向量系数的最值问题，若能转化为 $x,y$ 的线性组合，首选线性规划。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算
• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2025-新高考II卷-12 填-向量坐标运算
• 2023-北京卷-03 单-向量坐标运算
• 2014-广东卷文-03 单-向量坐标运算