2015-上海卷文-01 填-三角函数周期

本题导读

考查三角恒等变换与三角函数周期。核心是把 ${\sin }^{2}x$ 降幂，化归为 $A\cos (\omega x+\phi )+B$ 的标准形式，再直接读周期。属基础题。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(文)） 函数 $f(x)=1-3{\sin }^{2}x$ 的最小正周期为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 看到 ${\sin }^{2}x$（偶次幂），首选降幂公式 ${\sin }^{2}x=\frac{1-\cos 2x}{2}$。
2. 整理成常数项 $+A\cos 2x$ 的形式，$x$ 的系数即为 $\omega$。
3. 代 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$ 直接得周期。

✅【答案】

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$\pi$

✍【详细解析】

Abstract

由降幂公式得

$f(x)=1-3\cdot \frac{1-\cos 2x}{2}=1-\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\cos 2x=-\frac{1}{2}+\frac{3}{2}\cos 2x.$

这里 $\omega =2$，故最小正周期

$T=\frac{2\pi }{2}=\pi .$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角函数的周期与降幂公式。

2. 核心方法：用降幂公式把偶次幂化归为单一角的一次式，再套 $T=\frac{2\pi }{|\omega |}$。

3. 避坑指南：周期只与 $x$ 的系数有关。写成 ${\cos }^{2}x$ 或 ${\sin }^{2}x$ 时，$\omega$ 已变成 2，不能再按原角求周期。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：上海卷填空题首题历来稳定考”三角化简 + 求周期”，是送分定位题。

2. 结论推广: 对 $y=A{\sin }^2\omega x+B{\cos }^2\omega x$ 型，化简后周期恒为 $\frac{\pi }{|\omega |}$。

3. 方法推广: “降幂 → 合并 → 读系数”三步法，是处理一切三角周期问题的通用路径。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2016-上海卷文-8
• 2015-上海卷理-13 填-正弦型函数