2012-上海卷文-18 单-正弦数列符号计数

本题导读

本题考查正弦函数的值与周期，以及数列求和的符号分析。

📌【题干】

Question

（2012年上海卷(文)） 若 $S_n=\sin \frac{\pi }{7}+\sin \frac{2\pi }{7}+\cdots +\sin \frac{n\pi }{7}$（$n\in {\mathbf{N}}^{\ast }$），则在 $S_1$，$S_2$，$\cdots$，$S_{100}$ 中，正数的个数是()

A. $16$　　　　　　B. $72$　　　　　　C. $86$　　　　　　D. $100$

🔍【思路分析】

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项以 $14$ 为周期且每周期和为 $0$；$S_n>0$ 当且仅当 $n\mathrm{mod}14\in \{1,\cdots ,12\}$，$100$ 内共 $86$ 个，选 C。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

记 $s_k=\sin \frac{k\pi }{7}$，则 $s_{k+14}=s_k$，即 $\{s_k\}$ 以 $14$ 为周期，且 $s_7=s_{14}=0$，$s_8=-s_1$，$\cdots$，$s_{13}=-s_6$。

一个周期内的和 $\sum _{k=1}^{14}{s}_k=\sum _{k=1}^6{s}_k+0-\sum _{k=1}^6{s}_k+0=0$。

记 $T=\sum _{k=1}^6{s}_k=\cot \frac{\pi }{14}>0$，则 $S_7=T$，$S_{7+j}=T-(s_1+\cdots +s_j)>0$（$j=1,\cdots ,5$），$S_{13}=S_{14}=0$。

故每个周期内 $S_n>0$ 恰有 $12$ 个（$n\equiv 1,\cdots ,12(\mathrm{mod}14)$）。

$100=7\times 14+2$，先有 $7$ 个完整周期贡献 $7\times 12=84$ 个，余下 $n=99,100$（$99\equiv 1$，$100\equiv 2(\mathrm{mod}14)$）均为正，共 $84+2=86$ 个。

选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正弦函数的周期性；分组求和与符号判定

核心方法：按 $14$ 项一分组，每组部分和逐段比较，再数完整组与余项

避坑指南：$S_{13}=S_{14}=0$ 不是正数，别计入；$s_{k+7}=-s_k$ 的对称性是分组求和的关键；余项 $2$ 项对应新周期的第 $1$、$2$ 项，仍为正。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三角数列符号判定题，与 2013 年上海卷文第 21 题、2014 年上海卷文第 1 题同族。

结论推广：$\sum _{k=1}^6\sin \frac{k\pi }{7}=\cot \frac{\pi }{14}>0$；周期数列的部分和符号按”组内前段”与”组内后段”分段讨论。

方法推广：无限符号问题先找周期与零点，再算一个周期内的部分和轮廓，最后按完整周期加余项计数。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷文-21 解-三角零点个数
• 2014-上海卷文-01 填-三角函数周期
• 2015-上海卷文-01 填-三角函数周期