2015-上海卷文-03 填-共轭复数

本题导读

考查共轭复数与复数相等的条件。设 $z=a+b\mathrm{i}$ 代入，是最稳的做法。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(文)） 若复数 $z$ 满足 $3z+\bar{z}=1+\mathrm{i}$，其中 $\mathrm{i}$ 为虚数单位，则 $z=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设 $z=a+b\mathrm{i}$，则 $\bar{z}=a-b\mathrm{i}$。
2. 代入左边整理成 $\square +\square \mathrm{i}$ 的形式。
3. 与右边 $1+\mathrm{i}$ 比较，得两个实方程。

✅【答案】

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$z=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\mathrm{i}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $z=a+b\mathrm{i}$（$a,b\in \mathbf{R}$），则 $\bar{z}=a-b\mathrm{i}$，于是

$3z+\bar{z}=3(a+b\mathrm{i})+(a-b\mathrm{i})=4a+2b\mathrm{i}.$

由复数相等得

$4a=1,2b=1⟹a=\frac{1}{4},b=\frac{1}{2}.$

故 $z=\frac{1}{4}+\frac{1}{2}\mathrm{i}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：共轭复数的概念；复数相等的充要条件（实部、虚部分别相等）。

2. 核心方法：设 $z=a+b\mathrm{i}$，把复数方程转化为两个实数方程。

3. 避坑指南：$\bar{z}$ 只把虚部变号，实部不变；把 $\bar{z}$ 误当成 $-z$ 是常见错误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：上海卷复数题常年稳定考共轭与模，位置在第 3 题附近。

2. 结论推广: 形如 $\alpha z+\beta \bar{z}=w$ 的方程（$\alpha \ne \beta$）都可解出唯一的 $z$。

3. 方法推广: “设 $a+b\mathrm{i}$ → 分离实虚部 → 列实数方程组”是处理一切复数等式问题的标准范式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷理-2