2015-上海卷文-04 填-反函数

本题导读

考查反函数。求 $f^{-1}(2)$ 不必写出反函数解析式，转化为解方程 $f(x)=2$ 更快。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(文)） 设 $f^{-1}(x)$ 为 $f(x)=\frac{x}{2x+1}$ 的反函数，则 $f^{-1}(2)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由 $y=f^{-1}(2)$ 得 $f(y)=2$，把”求反函数值”变成”解方程”。
2. 解分式方程，注意分母不为零。

✅【答案】

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$-\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $f^{-1}(2)=y$，则 $f(y)=2$，即

$\frac{y}{2y+1}=2⟹y=4y+2⟹-3y=2⟹y=-\frac{2}{3}.$

经检验 $2\times \left(-\frac{2}{3}\right)+1=-\frac{1}{3}\ne 0$，符合定义域。

故 $f^{-1}(2)=-\frac{2}{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数的定义与求值。

2. 核心方法：“反函数求值 ⟺ 原函数解方程”，避免繁琐地解出 $y=f^{-1}(x)$ 的表达式。

3. 避坑指南：解出 $y$ 后要回代检验分母非零；若 $f(x)=2$ 无解，说明 2 不在反函数定义域内。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：反函数是上海卷的传统考点（新课标卷较少单独考），多与分式、根式函数结合。

2. 结论推广: 对一般的一一函数，$f^{-1}(a)=b⟺f(b)=a$ 始终成立。

3. 方法推广: “把反函数问题还原为原函数问题”，也适用于反函数的定义域、值域讨论。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2016-上海卷文-6
• 2015-上海卷理-10 填-反函数