2015-上海卷文-08 填-对数方程

本题导读

考查对数方程。先把常数 2 并入对数（化为同底），再用换元把指数式降为二次方程，最后必须验真数为正。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(文)） 方程 ${\log }_2(9^{x-1}-5)={\log }_2(3^{x-1}-2)+2$ 的解为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 把右端的 $+2$ 写成 ${\log }_{2}4$，合并为 ${\log }_2\left[4(3^{x-1}-2)\right]$。
2. 同底对数相等 ⟹ 真数相等，得 $9^{x-1}-5=4\cdot 3^{x-1}-8$。
3. 令 $t=3^{x-1}>0$，化为二次方程求 $t$，再回代求 $x$，最后验真数。

✅【答案】

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$x=2$

✍【详细解析】

Abstract

由 $2={\log }_{2}4$，原方程化为

${\log }_2(9^{x-1}-5)={\log }_2\left[4(3^{x-1}-2)\right].$

同底对数相等，真数相等：

$9^{x-1}-5=4\cdot 3^{x-1}-8.$

令 $t=3^{x-1}>0$，则 $9^{x-1}=t^2$，得

$t^2-4t+3=0⟹t=1\text{或}t=3.$

• 当 $t=1$ 时 $3^{x-1}=1$，得 $x=1$。检验真数：$9^0-5=-4<0$，舍去。
• 当 $t=3$ 时 $3^{x-1}=3$，得 $x=2$。检验真数：$9-5=4>0$，$3-2=1>0$，符合。

故 $x=2$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数运算性质、同底对数方程、指数换元、真数必须为正。

2. 核心方法：“常数并进对数” + “换元降次” + “代回验根”三步走。

3. 避坑指南：换元后求得的 $t$ 必须满足 $t>0$；回代后必须检验两个真数都为正。本题若漏掉检验，就会把 $x=1$ 这个增根写进答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：对数方程是”指数—对数互化”的核心题型，上海卷偏爱在此设置一道中等难度填空。

2. 结论推广: 形如 ${\log }_{a}f(x)={\log }_{a}g(x)+c$ 的方程，都可化为 $f(x)=a^{c}g(x)$ 后求解并验根。

3. 方法推广: “换元 + 验根”是超越方程通用套路：换元负责降次，验根负责剔增根。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷理-7