2013-上海卷理-06 填-指数方程解法

本题导读

本题考查函数与方程，以及指数方程。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(理)） 方程 $\frac{3}{3^x-1}+\frac{1}{3}=3^{x-1}$ 的实数解为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 结构观察：方程中多次出现以 $3$ 为底的指数项，如 $3^x$ 和 $3^{x-1}$。
2. 统一形式：利用指数运算法则 $3^{x-1}=\frac{3^x}{3}$。
3. 换元简化：令 $t=3^x$（注意 $t>0$ 且 $t\ne 1$），将原方程转化为关于 $t$ 的分式方程。
4. 求解方程：去分母转化为一元二次方程，求出 $t$ 后，通过对数运算还原出 $x$。

✅【答案】

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${\log }_{3}4$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：整理方程 利用 $3^{x-1}=\frac{3^x}{3}$，原方程可写为： $\frac{3}{3^x-1}+\frac{1}{3}=\frac{3^x}{3}$

第二步：换元 令 $3^x=t$（$t>0,t\ne 1$），方程变为： $\frac{3}{t-1}+\frac{1}{3}=\frac{t}{3}$

第三步：解关于 $t$ 的方程 方程两边同时乘以 $3(t-1)$ 去分母： $9+(t-1)=t(t-1)$ $9+t-1=t^2-t$ 整理得一元二次方程： $t^2-2t-8=0$ 因式分解： $(t-4)(t+2)=0$ 解得 $t_1=4$，$t_2=-2$。

第四步：还原 $x$ 由换元前提 $t=3^x>0$ 可知，$t=-2$ 舍去。 当 $t=4$ 时： $3^x=4$ 根据对数定义解得： $x={\log }_{3}4$

故填入答案为：${\log }_{3}4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数方程与对数式的互化关系。

核心方法：“换元法” 是处理复杂指数、对数或三角方程的利器。通过换元降低运算层级（从指数层降到代数层）。

避坑指南：- 换元后务必注意新变量 $t$ 的取值范围（指数函数恒大于 $0$）。 - 分式方程去分母后求出的解需要检验是否使分母为零（本题 $t=4$ 满足 $t\ne 1$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：一元二次方程的求根公式、对数的换底公式。

结论推广：方程 ${\log }_{3}4$ 也可以利用换底公式表示为 $\frac{\ln 4}{\ln 3}$ 或 $\frac{2\ln 2}{\ln 3}$。

方法推广：“换元法” 是处理复杂指数、对数或三角方程的利器。通过换元降低运算层级（从指数层降到代数层）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2013-上海卷文-08 填-指数方程
• 2015-陕西卷文-23 解-参数方程
• 2015-上海卷文-08 填-对数方程