2013-上海卷文-08 填-指数方程

本题导读

本题考查指数方程，以及换元法。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(文)） 方程 $\frac{9}{3^x-1}+1=3^x$ 的实数解为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $t=3^x$，则 $t>0$ 且 $t\ne 1$，方程为 $\frac{9}{t-1}+1=t$。
2. 两边乘 $t-1$：$9+t-1=t^2-t$，即 $t^2-2t-8=0$。
3. $(t-4)(t+2)=0$，$t=4$ 或 $t=-2$；由 $t>0$ 取 $t=4$。
4. 回代 $3^x=4$ → $x={\log }_{3}4$。

✅【答案】

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$x={\log }_{3}4$

✍【详细解析】

Abstract

令 $t=3^x$。由 $3^x>0$ 知 $t>0$，且原方程分母 $3^x-1\ne 0$ 要求 $t\ne 1$。 原方程化为 $\frac{9}{t-1}+1=t.$ 两边同乘 $t-1$（$t\ne 1$）： $9+t-1=t(t-1),$ 整理得 $t^2-2t-8=0,(t-4)(t+2)=0,$ 解得 $t=4$ 或 $t=-2$。 由 $t>0$ 舍去 $t=-2$，取 $t=4$，即 $3^x=4$。 所以 $x={\log }_{3}4.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：指数方程（换元 + 验根）

核心方法：令 $t=3^x$（$t>0$）：$\frac{9}{t-1}+1=t$ → $t^2-2t-8=0$ → $t=4$（$t=-2$ 舍）→ $x={\log }_{3}4$

避坑指南：换元后 $t$ 的取值有两条限制：$t>0$（指数式）且 $t\ne 1$（原方程分母 $3^x-1\ne 0$）；解出一元二次方程后两个根都要用这两条筛，$t=-2$ 直接舍去

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：指数方程的分式结构 + 换元是上海卷填空题的中档常客，与 2015 上海文 8 的对数方程换元互为镜像。

结论推广：凡 $\frac{A}{3^x-1}+B=3^x$ 型，令 $t=3^x$，把分式方程化为整式方程；解出 $t$ 后按”指数式为正 + 分母非零”双重验根。

方法推广：解含分式的方程，通分前先写明”分母不为零”的条件；换元法解完后必须回代求原变量并验根。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 04.01 指数与对数运算
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2015-上海卷文-08 填-对数方程
• 2014-安徽卷文-11 填-指对运算
• 1977-江苏卷-01(3)