2015-上海卷理-14 填-三角形面积

本题导读

本题是解三角形与向量数量积的综合压轴题。核心在于利用面积公式建立边长与高的关系，同时巧妙利用四点共圆的几何特征确定向量之间的夹角，最后通过数量积公式求解。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(理)） 在锐角三角形 $ABC$ 中，$\tan A=\frac{1}{2}$，$D$ 为边 $BC$ 上的点，$△ABD$ 与 $△ACD$ 的面积分别为 $2$ 和 $4$.过 $D$ 作 $DE\perp AB$ 于 $E$，$DF\perp AC$ 于 $F$，则 $\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{DF}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化三角函数：已知 $\tan A=\frac{1}{2}$ 且 $A$ 为锐角，求出 $\sin A$ 和 $\cos A$ 的精确值。
2. 利用面积法求边长乘积：
   • 设 $AB=c,AC=b$。
   • $S_{△ABD}=\frac{1}{2}c\cdot DE=2⟹c\cdot DE=4$。
   • $S_{△ACD}=\frac{1}{2}b\cdot DF=4⟹b\cdot DF=8$。
   • 考虑大三角形 $S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}=6$。
   • 同时 $S_{△ABC}=\frac{1}{2}bc\sin A=6$。由此可求出 $bc$ 的值，进而结合前两个等式求出 $DE\cdot DF$。
3. 分析向量夹角：
   • 观察四边形 $DEAF$，由于 $\angle AED=\angle AFD=90^{\circ }$，对角互补，故 $D,E,A,F$ 四点共圆。
   • 向量 $\overrightarrow{DE}$ 与 $\overrightarrow{DF}$ 的夹角为 $\angle EDF$。在该四圆内，$\angle EDF=180^{\circ }-A$。
   4. 计算数量积：根据公式 $\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{DF}=|\overrightarrow{DE}|\cdot |\overrightarrow{DF}|\cdot \cos (\angle EDF)$ 进行计算。

✅【答案】

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$-\frac{16}{15}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求三角函数值 因为 $A$ 为锐角且 $\tan A=\frac{1}{2}$， 根据 ${\sin }^{2}A+{\cos }^{2}A=1$ 及 $\frac{\sin A}{\cos A}=\frac{1}{2}$， 解得：$\sin A=\frac{1}{\sqrt{5}}$，$\cos A=\frac{2}{\sqrt{5}}$。

第二步：求 $DE\cdot DF$ 的值 由 $S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}=2+4=6$， 得 $\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin A=6⟹AB\cdot AC\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}=12⟹AB\cdot AC=12\sqrt{5}$。 又由面积公式： $\frac{1}{2}AB\cdot DE=2⟹AB\cdot DE=4$； $\frac{1}{2}AC\cdot DF=4⟹AC\cdot DF=8$。 两式相乘得：$(AB\cdot AC)\cdot (DE\cdot DF)=4\times 8=32$。 代入 $AB\cdot AC=12\sqrt{5}$： $12\sqrt{5}\cdot (DE\cdot DF)=32⟹DE\cdot DF=\frac{32}{12\sqrt{5}}=\frac{8}{3\sqrt{5}}$

第三步：计算向量数量积 在四边形 $DEAF$ 中，$\angle AED+\angle AFD=90^{\circ }+90^{\circ }=180^{\circ }$， 故 $D,E,A,F$ 四点共圆，则向量 $\overrightarrow{DE},\overrightarrow{DF}$ 的夹角 $\theta =\pi -A$。 $\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{DF}=DE\cdot DF\cdot \cos (\pi -A)=DE\cdot DF\cdot (-\cos A)$ 代入数值： $\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{DF}=\frac{8}{3\sqrt{5}}\times \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)=-\frac{16}{3\times 5}=-\frac{16}{15}$

答案：$-\frac{16}{15}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：三角形面积公式 $S=\frac{1}{2}ab\sin C$；平面向量数量积的几何定义；四点共圆的判定及其角度性质。
• 核心方法：等量代换法。利用面积作为桥梁，将题目中的高度（$DE,DF$）与底边（$AB,AC$）联系起来。
• 避坑指南：计算向量夹角时，一定要注意是 $\pi -A$ 而不是 $A$。钝角夹角导致数量积为负，这是上海卷常考的陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若四边形对角互补，则该四边形外接圆上，任两边对应向量的数量积与夹角余弦正负一致。

• 相关知识点：正弦定理、余弦定理、共线向量定理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练(Links)

• 2014-上海卷理-14 填-中点向量关系
• 2001-上海卷理-14 单-空间向量基本定理
• 2024-上海卷-14 单-和差角的正弦公式