2015-上海卷理-21 解-椭圆性质

本题导读

本题是解析几何的综合大题。第一问要求证明平行四边形面积的坐标表示公式，核心是利用对称性将面积转化为三角形面积的 2 倍；第二问考查在特定斜率条件下求解面积，需要联立直线与椭圆方程进行代数化简。

📌【题干】

Question

（2015年上海卷(理)） 已知椭圆 $x^2+2y^2=1$，过原点的两条直线 $l_1$ 和 $l_2$ 分别于椭圆交于 $A,B$ 和 $C,D$，记得到的平行四边形 $ABCD$ 的面积为 $S$.

(1) 设 $A(x_1,y_1),C(x_2,y_2)$，用 $A,C$ 的坐标表示点 $C$ 到直线 $l_1$ 的距离，并证明 $S=2|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$；

(2) 设 $l_1$ 与 $l_2$ 的斜率之积为 $-\frac{1}{2}$，求面积 $S$ 的值.


🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（面积证明）：
   • 点到直线距离：直线 $l_1$ 过原点 $O$ 且过 $A(x_1,y_1)$，其方程可写为 $y_{1}x-x_{1}y=0$。代入点到直线距离公式即可求出 $d$。
     • 面积转化：由于直线过原点且椭圆关于原点对称，故 $O$ 是 $AB$ 和 $CD$ 的中点，四边形 $ABCD$ 是平行四边形。其面积 $S=2S_{△ABC}$。利用底乘高（底为 $|AB|$，高为 $d$）即可推导。
2. 第二问（定值求解）：
   • 设斜率：设 $l_1:y=kx$，则 $l_2:y=-\frac{1}{2k}x$。
   • 联立方程：将直线 $l_1$ 代入椭圆方程求出 $x_1^2,y_1^2$ 的表达式（含 $k$）；同理求出 $x_2^2,y_2^2$ 的表达式。
   • 代入计算：将求得的坐标表达式代入第一问的面积公式 $S^2=4(x_1{y}_2-x_2{y}_1{)}^2$，通过代数消项证明其为定值。

✅【答案】

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点𝐶到直线𝑙1的距离为|𝑦1𝑥2−𝑥1𝑦2|√𝑥21+𝑦21

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：点 $C$ 到直线 $l_1$ 的距离及面积公式 直线 $l_1$ 过原点 $O(0,0)$ 和 $A(x_1,y_1)$，其方程为：$y_{1}x-x_{1}y=0$。 点 $C(x_2,y_2)$ 到直线 $l_1$ 的距离 $d$ 为： $d=\frac{|y_1{x}_2-x_1{y}_2|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}$ 因为 $l_1$ 过原点，由对称性知 $|AB|=2|OA|=2\sqrt{x_1^2+y_1^2}$。 平行四边形 $ABCD$ 的面积 $S$ 等于 $△ABC$ 面积的 2 倍： $S=2\cdot S_{△ABC}=2\cdot \left(\frac{1}{2}|AB|\cdot d\right)=2\sqrt{x_1^2+y_1^2}\cdot \frac{|x_1{y}_2-x_2{y}_1|}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}$ $S=2|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$

(2) 求面积 $S$ 的值 设直线 $l_1:y=kx$，则 $l_2:y=-\frac{1}{2k}x$。 将 $y=kx$ 代入椭圆 $x^2+2y^2=1$： $x_1^2+2(k{x}_1{)}^2=1⟹x_1^2=\frac{1}{1+2k^2},y_1^2=\frac{k^2}{1+2k^2}$ 将 $y=-\frac{1}{2k}x$ 代入椭圆 $x^2+2y^2=1$： $x_2^2+2{\left(-\frac{1}{2k}{x}_2\right)}^2=1⟹x_2^2(1+\frac{1}{2k^2})=1⟹x_2^2=\frac{2k^2}{2k^2+1},y_2^2=\frac{1}{2(2k^2+1)}$ 由（1）知 $S=2|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$，则： $S^2=4(x_1{y}_2-x_2{y}_1{)}^2=4(x_1^2{y}_2^2+x_2^2{y}_1^2-2x_1{x}_2{y}_1{y}_2)$ 代入 $y_1=k{x}_1$ 和 $y_2=-\frac{1}{2k}{x}_2$： $S=2|x_1(-\frac{1}{2k}{x}_2)-x_2(k{x}_1)|=2|x_1{x}_2|\cdot |-\frac{1}{2k}-k|=2|x_1{x}_2|\cdot \frac{2k^2+1}{2|k|}=\frac{2k^2+1}{|k|}|x_1{x}_2|$ $S^2=\frac{(2k^2+1{)}^2}{k^2}\cdot x_1^2{x}_2^2=\frac{(2k^2+1{)}^2}{k^2}\cdot \frac{1}{1+2k^2}\cdot \frac{2k^2}{2k^2+1}=\frac{2k^2}{k^2}=2$ 所以 $S=\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：点到直线距离公式的灵活应用；平行四边形面积的向量积/坐标表示；直线与圆锥曲线位置关系的代数处理。
• 核心方法：参数化与整体代换。在第二问中，不需要求出具体的 $x,y$，而是通过斜率 $k$ 表达出它们的乘积形式进行化简。
• 避坑指南：计算 $x_2^2$ 时，注意分式的通分和倒数运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 对于椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$，若两条过原点的直线斜率之积为 $-\frac{b^2}{a^2}$，则形成的平行四边形面积为定值 $2ab$。本题中 $a=1,b=\frac{1}{\sqrt{2}}$，面积 $2\cdot 1\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。

• 相关知识点：仿射变换在圆锥曲线中的应用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略
• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

类题演练(Links)

• 2016-上海卷文-21
• 2016-上海卷理-21
• 2007-上海卷理-21 解-点轨迹方程