2015-四川卷文-14 填-三视图体积

本题导读

还原为底面直角边 1 的等腰直角三角形、高 1 的直三棱柱；$V_{P-A_{1}MN}=V_{A_1-MNP}=V_{A-MNP}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{24}$。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(文)） 在三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$\angle BAC=90^{\circ }$，其正视图和侧视图都是边长为 1 的正方形，俯视图是直角边的长为 1 的等腰直角三角形.设点 $M$，$N$，$P$ 分别是棱 $AB$，$BC$，$B_1{C}_1$ 的中点，则三棱锥 $P-A_{1}MN$ 的体积是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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还原为底面直角边 1 的等腰直角三角形、高 1 的直三棱柱；$V_{P-A_{1}MN}=V_{A_1-MNP}=V_{A-MNP}=\frac{1}{3}\cdot \frac{1}{4}\cdot \frac{1}{2}=\frac{1}{24}$。

✅【答案】

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$\frac{1}{24}$

✍【详细解析】

Abstract

由三视图还原：几何体是直三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$，底面 $△ABC$ 为直角边长 1 的等腰直角三角形（$AB=AC=1$，$\angle BAC=90^{\circ }$），侧棱长 $A{A}_1=1$。

由中点条件：$MN$ 为 $△ABC$ 的中位线，$MN=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}$；$NP$ 为 $△B_{1}BC$ 的中位线，$NP\parallel B{B}_1$ 且 $NP=1$。

$MN\perp NP$（$MN\parallel AC\perp AB$，$NP\parallel A{A}_1\perp$ 底面），故 $S_{△MNP}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{4}$。

因 $A{A}_1\parallel NP$，$NP\subset$ 平面 $MNP$，$A{A}_1\not\subset$ 平面 $MNP$，所以 $A{A}_1\parallel$ 平面 $MNP$，$A_1$ 与 $A$ 到该平面的距离相等，于是 $V_{P-A_{1}MN}=V_{A_1-MNP}=V_{A-MNP}$。

又 $AM\perp MN$（$MN\parallel AC$，$AB\perp AC$），$AM\perp NP$（$NP\parallel A{A}_1$，$AB\perp A{A}_1$），$MN\cap NP=N$，所以 $AM\perp$ 平面 $MNP$，即 $A$ 到平面 $MNP$ 的距离为 $AM=\frac{1}{2}$。

故 $V_{P-A_{1}MN}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{4}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{24}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图还原 + 三棱锥等体积变换求体积

核心方法：换顶点 $P-A_{1}MN\to A_1-MNP\to A-MNP$，把陌生距离化为 $AM$

避坑指南：等体积变换的合法性来自 $A{A}_1\parallel$ 平面 $MNP$：先证平行再换顶点，直接求 $A_1$ 到平面的距离计算量大且易错；$S_{△MNP}$ 中 $MN=\frac{1}{2}$、$NP=1$ 且两者垂直，别把 $MN$ 误算成中位线全长 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：以三视图为载体、以等体积变换为手段的体积题是四川卷立体几何填空的经典命题，2007 年四川卷理第 14 题同型。

结论推广：求锥体积的通用流程：先换底面（选易算面积的三角形），再用线面平行换顶点（把高化为已知垂线段）。

方法推广：锥体体积计算坚持”一换底、二换顶、三求高”，中点条件优先翻译为中位线与平行关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练(Links)

• 2007-四川卷理-14 填-直线平面所成角
• 2016-四川卷理-13