2015-四川卷理-16 解-数列递推

本题导读

本题考查等比数列通项公式的推导及等比数列求和公式的应用。第一问通过 $S_n$ 与 $a_n$ 的递推关系确定数列类型；第二问通过求和后构造不等式，利用 2 的幂次估值求解 $n$ 的最小值。

📌【题干】

Question

（2015年四川卷(理)） 设数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n=2a_n-a_1$，且 $a_1,a_2+1,a_3$ 成等差数列.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2) 记数列 $\{\frac{1}{a_n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$，求得 $|T_n-1|<\frac{1}{1000}$ 成立的 $n$ 的最小值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问思路：
   • 利用 $a_n=S_n-S_{n-1}$ ($n\ge 2$) 建立 $a_n$ 与 $a_{n-1}$ 的递推关系，判定其为等比数列。
     • 利用等差中项性质 $2(a_2+1)=a_1+a_3$ 建立关于 $a_1$ 的方程，求出首项。
2. 第二问思路：
   • 写出新数列 $\{\frac{1}{a_n}\}$ 的通项，发现其仍为等比数列（公比为 $\frac{1}{2}$）。
   • 应用等比数列求和公式求出 $T_n$。
     • 将 $T_n$ 代入绝对值不等式，化简为关于 $n$ 的指数不等式。
   • 寻找满足 $2^n>1000$ 的最小整数 $n$。

✅【答案】

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(1) $a_n=2^n$

(2) 10

✍【详细解析】

Abstract

（I）求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式

当 $n\ge 2$ 时，由 $S_n=2a_n-a_1$ 得： $S_{n-1}=2a_{n-1}-a_1$ 两式相减得： $S_n-S_{n-1}=(2a_n-a_1)-(2a_{n-1}-a_1)$ $a_n=2a_n-2a_{n-1}⟹a_n=2a_{n-1}$ 所以数列 $\{a_n\}$ 是公比 $q=2$ 的等比数列。 则 $a_2=2a_1,a_3=4a_1$。 又因为 $a_1,a_2+1,a_3$ 成等差数列， 所以 $2(a_2+1)=a_1+a_3$ 代入得：$2(2a_1+1)=a_1+4a_1$ $4a_1+2=5a_1⟹a_1=2$。 故 $\{a_n\}$ 的通项公式为： $a_n=a_1\cdot q^{n-1}=2\cdot 2^{n-1}=2^n$。

（II）求 $n$ 的最小值

由 (1) 知 $\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2^n}=(\frac{1}{2}{)}^n$。 则 $T_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2^n}$。 利用等比数列求和公式： $T_n=\frac{\frac{1}{2}(1-(\frac{1}{2}{)}^n)}{1-\frac{1}{2}}=1-\frac{1}{2^n}$。 代入不等式 $|T_n-1|<\frac{1}{1000}$： $|1-\frac{1}{2^n}-1|<\frac{1}{1000}⟹\frac{1}{2^n}<\frac{1}{1000}$ 即 $2^n>1000$。 因为 $2^9=512,2^{10}=1024$， 所以满足条件的 $n$ 的最小值为 $10$。

答案：（1）$a_n=2^n$；（2）10

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：$S_n$ 与 $a_n$ 的转换关系；等比数列的定义与性质；指数估值。
• 核心方法：消项法。通过 $S_n-S_{n-1}$ 消除 $S_n$ 是解决此类数列递推题的通用套路。
• 避坑指南：计算 $T_n$ 时注意项数和公比的正确代入，且在比较 $2^n$ 与 $1000$ 时要熟记常用的 2 的幂次。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若 $S_n=A{a}_n+B$，当 $A\ne 1$ 时，该数列通常为等比数列或可以转化为等比数列。

• 相关知识点：数列的极限（$T_n$ 趋近于 1）、指数函数与对数函数的转换。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

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