2015-天津卷文-10 填-三视图体积

本题导读

几何体为两个高 1 的圆锥与一个高 2 的圆柱的组合体，$V=\frac{8\pi }{3}$。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(文)） 一个几何体的三视图如图所示（单位：m），则该几何体的体积为$\underline{}$ ${\mathrm{m}}^3$.

🔍【思路分析】

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几何体为两个高 1 的圆锥与一个高 2 的圆柱的组合体，$V=\frac{8\pi }{3}$。

✅【答案】

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$\frac{8\pi }{3}$

✍【详细解析】

Abstract

由三视图可知，该几何体由上、下两个底面半径为 1、高为 1 的圆锥与中间一个底面半径为 1、高为 2 的圆柱拼接而成。

$V=2\times \frac{1}{3}\pi \cdot 1^2\cdot 1+\pi \cdot 1^2\cdot 2=\frac{2\pi }{3}+2\pi =\frac{8\pi }{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三视图的还原；圆锥、圆柱的体积公式

核心方法：先由三视图识别组合体的构成，再分块求和

避坑指南：两个圆锥方向相反（尖朝外），体积虽相同，但还原空间图时不要画成同向；圆柱高是 2 而非 1。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：三视图求体积是天津卷高频题，2011、2014、2017 年天津卷理第 10 题均为同位置考查。

结论推广：若中间改为棱柱、两端改为棱锥，方法不变，只需替换公式并注意底面形状的识别。

方法推广：三视图还原坚持”长对正、高平齐、宽相等”，先定轮廓再定细节，最后用体积公式分块求和。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

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