2015-天津卷文-12 填-对数最值

本题导读

${\log }_2(2b)=4-{\log }_{2}a$，令 $t={\log }_{2}a$，$t(4-t)\le 4$，$t=2$ 时取等，$a=4$。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(文)） 已知 $a>0$，$b>0$，$ab=8$，则当 $a$ 的值为$\underline{}$ 时，${\log }_{2}a\cdot {\log }_2(2b)$ 取得最大值.

🔍【思路分析】

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${\log }_2(2b)=4-{\log }_{2}a$，令 $t={\log }_{2}a$，$t(4-t)\le 4$，$t=2$ 时取等，$a=4$。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

由 $ab=8$ 得 $b=\frac{8}{a}$，于是 $2b=\frac{16}{a}$，${\log }_2(2b)=4-{\log }_{2}a$。

令 $t={\log }_{2}a$（$t\in \mathbf{R}$，且 $a>0$ 自动满足），则

${\log }_{2}a\cdot {\log }_2(2b)=t(4-t)=-t^2+4t=-{\left(t-2\right)}^2+4\le 4$。

当 $t=2$ 即 ${\log }_{2}a=2$，$a=4$ 时取得最大值 4。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：基本不等式（或二次函数配方法）；对数的运算性质

核心方法：用 $ab=8$ 把二元化为 $t$ 的一元二次型

避坑指南：$t(4-t)$ 的最大值在 $t=2$ 取得，$t={\log }_{2}a$ 可取一切实数，不存在”正值”限制的干扰，但要防止把 ${\log }_2(2b)$ 误算成 ${\log }_{2}2+{\log }_{2}b$ 后忘记代换 $b$。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“对数 + 基本不等式”是天津卷填空的常见组合，2012、2017 年天津卷理第 12 题同位置考查。

结论推广：把条件改为 $a+b=8$ 或 $a^{2}b=8$，同样先取对数化线性关系，再配二次型求最值。

方法推广：多元最值问题，先用约束条件把所有变量表示成一个变量的函数，是化归的主线。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.02 均值不等式
• 04.01 指数与对数运算

类题演练(Links)

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