2015-天津卷文-17 解-线面角

本题导读

中位线 $EF\parallel B{A}_1$ 证平行；$BC\perp$ 平面 $AE{A}_1$ 证面面垂直；建系得 $A_1{B}_1$ 与平面 $BC{B}_1$ 所成角 $30^{\circ }$。

📌【题干】

Question

（2015年天津卷(文)） 如图，已知 $A{A}_1\perp$ 平面 $ABC$，$B{B}_1\parallel A{A}_1$，$AB=AC=3$，$BC=2\sqrt{5}$，$A{A}_1=\sqrt{7}$，$B{B}_1=2\sqrt{7}$，点 $E$ 和 $F$ 分别为 $BC$ 和 $A_{1}C$ 的中点.

(1) 求证：$EF\parallel$ 平面 $A_1{B}_{1}BA$；

(2) 求证：平面 $AE{A}_1\perp$ 平面 $BC{B}_1$；

(3) 求直线 $A_1{B}_1$ 与平面 $BC{B}_1$ 所成角的大小.

🔍【思路分析】

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中位线 $EF\parallel B{A}_1$ 证平行；$BC\perp$ 平面 $AE{A}_1$ 证面面垂直；建系得 $A_1{B}_1$ 与平面 $BC{B}_1$ 所成角 $30^{\circ }$。

✅【答案】

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(1) 证明见解析

(2) 证明见解析

(3) $30^{\circ }$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 在 $△A_{1}CB$ 中，$E,F$ 分别为 $BC,A_{1}C$ 的中点，故 $EF$ 为中位线，$EF\parallel B{A}_1$。

$B{A}_1\subset$ 平面 $A_1{B}_{1}BA$，$EF\not\subset$ 平面 $A_1{B}_{1}BA$，故 $EF\parallel$ 平面 $A_1{B}_{1}BA$。

(2) $AB=AC$，$E$ 为 $BC$ 中点，故 $AE\perp BC$；又 $A{A}_1\perp$ 平面 $ABC$，$BC\subset$ 平面 $ABC$，故 $A{A}_1\perp BC$。

$AE\cap A{A}_1=A$，且都在平面 $AE{A}_1$ 内，故 $BC\perp$ 平面 $AE{A}_1$；又 $BC\subset$ 平面 $BC{B}_1$，故平面 $AE{A}_1\perp$ 平面 $BC{B}_1$。

(3) 以 $B$ 为原点、$BC,B{B}_1$ 所在直线为 $x,z$ 轴建系。$AB=AC=3$，$BC=2\sqrt{5}$，等腰三角形底边上的高 $AE=\sqrt{9-5}=2$，取 $E=(\sqrt{5},0,0)$，则 $A=(\sqrt{5},2,0)$，$A_1=(\sqrt{5},2,\sqrt{7})$，$B_1=(0,0,2\sqrt{7})$。

$\overrightarrow{A_1{B}_1}=(-\sqrt{5},-2,\sqrt{7})$；平面 $BC{B}_1$ 过 $x$ 轴与 $z$ 轴，即 $y=0$ 平面，其法向量可取 $\mathbf{n}=(0,1,0)$。

$\sin \theta =\frac{|\overrightarrow{A_1{B}_1}\cdot \mathbf{n}|}{|\overrightarrow{A_1{B}_1}||\mathbf{n}|}=\frac{2}{\sqrt{5+4+7}}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。

故直线 $A_1{B}_1$ 与平面 $BC{B}_1$ 所成角为 $30^{\circ }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线面平行的判定定理；面面垂直的判定定理；线面角的向量求法

核心方法：中位线平移证线面平行；“线线垂直 → 线面垂直 → 面面垂直”链式推理；法向量夹角定线面角

避坑指南：线面角 $\theta$ 满足 $\sin \theta =|\cos ⟨\mathbf{d},\mathbf{n}⟩|$，用 $\sin$ 而非 $\cos$；第（2）问必须指明 $AE$ 与 $A{A}_1$ 相交于 $A$，才能得出线面垂直。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：天津卷立体几何解答题的传统结构（平行 + 垂直 + 空间角），2012、2013、2016、2018 年天津卷理第 17 题均为同型三问。

结论推广：第（3）问的几何法版本：注意到平面 $BC{B}_1$ 即过 $BC$ 与 $B{B}_1$ 的平面，$A_1{B}_1$ 在其上的投影可借 $A_1{B}_1$ 的中点构造，得到同一正弦值 $1/2$。

方法推广：空间角问题”几何法看结构、向量法保下限”：能一眼看出投影关系用几何法，结构复杂时建系最稳。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练(Links)

• 2018-天津卷理-17 解-空间直角坐标系
• 2016-天津卷理-17
• 2013年天津卷理-17