2013-山东卷理-04 单-线面角定义与计算

本题导读

本题考查直线与平面所成的角，以及线面角的定义与计算。

📌【题干】

Question

（2013年山东卷(理)） 已知三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的侧棱与底面垂直，体积为 $\frac{9}{4}$，底面是边长为 $\sqrt{3}$ 的正三角形.若 $P$ 为底面 $A_1{B}_1{C}_1$ 的中心，则 $PA$ 与平面 $ABC$ 所成角的大小为()

A. $\frac{5\pi }{12}$　　　　　　　B. $\frac{\pi }{3}$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{4}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{6}$

🔍【思路分析】

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1. 明确线面角：由于侧棱与底面垂直，三棱柱为直棱柱。点 $A$ 在底面 $A_1{B}_1{C}_1$ 上的射影为 $A_1$。连接 $A_{1}P$，则 $\angle AP{A}_1$ 为直线 $PA$ 与底面 $A_1{B}_1{C}_1$ 所成的角。因为平面 $ABC\parallel$ 平面 $A_1{B}_1{C}_1$，故该角即为 $PA$ 与平面 $ABC$ 所成的角。
2. 计算高 $h$：由正三角形面积公式求出底面积 $S$，再结合 $V=S\cdot h$ 求出侧棱长 $A{A}_1$。
3. 计算射影长：利用等边三角形性质求出中心 $P$ 到顶点 $A_1$ 的距离 $A_{1}P$。
4. 解三角形：在 $Rt△A{A}_{1}P$ 中，利用正切值求出角度。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract


第一步：计算底面积 $S$ 和高 $h$。 底面正 $△A_1{B}_1{C}_1$ 的边长 $a=\sqrt{3}$，其面积为： $S=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\times (\sqrt{3}{)}^2=\frac{3\sqrt{3}}{4}$ 三棱柱体积 $V=S\cdot A{A}_1=\frac{9}{4}$，则： $A{A}_1=\frac{V}{S}=\frac{9/4}{3\sqrt{3}/4}=\frac{3}{\sqrt{3}}=\sqrt{3}$

第二步：计算 $A_{1}P$。 $P$ 为正 $△A_1{B}_1{C}_1$ 的中心，$A_{1}P$ 即为该三角形外接圆的半径。 正三角形的高为 $\frac{\sqrt{3}}{2}a=\frac{\sqrt{3}}{2}\times \sqrt{3}=\frac{3}{2}$。 根据重心/中心性质，$A_{1}P$ 等于高的 $\frac{2}{3}$： $A_{1}P=\frac{2}{3}\times \frac{3}{2}=1$

第三步：求线面角。 在 $Rt△A{A}_{1}P$ 中，$\tan \angle AP{A}_1=\frac{A{A}_1}{A_{1}P}=\frac{\sqrt{3}}{1}=\sqrt{3}$。 所以 $\angle AP{A}_1=\frac{\pi }{3}$。

故正确答案为：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直棱柱中线面角的识别。垂直关系 $A{A}_1\perp$ 底面是降维求解的关键。

核心方法：熟练记忆正三角形的“五心合一”性质，特别是中心到顶点距离（外接圆半径 $R=\frac{\sqrt{3}}{3}a$）和到边距离（内切圆半径 $r=\frac{\sqrt{3}}{6}a$）。

避坑指南：注意分清所求角是 $PA$ 与平面 $ABC$ 的夹角。虽然 $P$ 在上底面，但由于上下底面平行，在任意一个底面内计算其射影角结果相同。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二面角的计算、变式——三棱锥的体积计算。

结论推广：在直棱柱中，若底面是正 $n$ 边形，中心为 $P$，则侧棱长与 $A_{1}P$ 的比值直接决定了线面角的正切值。

方法推广：空间角的计算通常遵循“一作、二证、三计算”的步骤。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题
• 17.01 圆的方程与圆系理论

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-07 单-线面角
• 2015-天津卷文-17 解-线面角
• 2014-浙江卷文-20 解-线面角