2013-大纲卷理-10 单-线面角

本题导读

本题考查直线与平面所成的角，以及空间向量的应用。

📌【题干】

Question

（2013年大纲卷(理)） 已知正四棱柱 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，$A{A}_1=2AB$，则 $CD$ 与平面 $BD{C}_1$ 所成角的正弦值等于()

A. $\frac{2}{3}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$　　　　　　　D. $\frac{1}{3}$

🔍【思路分析】

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1. 建立坐标系：观察图形特征，正四棱柱底面是正方形，侧棱垂直于底面，适合建立空间直角坐标系。设 $AB=1$，则侧棱长 $A{A}_1=2$。
2. 坐标表示：选取合适的原点（如 $D_1$ 或 $D$），写出相关点 $B,D,C,C_1$ 的坐标，并得出向量 $\overrightarrow{DC}$ 和平面内两个向量（如 $\overrightarrow{DB},\overrightarrow{D{C}_1}$）。
3. 求法向量：设平面 $BD{C}_1$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$，利用法向量垂直于平面内两条相交直线，建立方程组求解。
4. 公式计算：利用线面角 $\theta$ 的公式 $\sin \theta =|\cos ⟨\vec{n},\overrightarrow{DC}⟩|=\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{DC}|}{|\vec{n}|\cdot |\overrightarrow{DC}|}$ 进行计算。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：建立空间直角坐标系


设 $AB=1$，则 $A{A}_1=2$。以 $D_1$ 为坐标原点，分别以 $\overrightarrow{D_1{A}_1},\overrightarrow{D_1{C}_1},\overrightarrow{D_{1}D}$ 的方向为 $x$ 轴、$y$ 轴、$z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系。

第二步：写出点与向量坐标 由题意得各点坐标如下： $D(0,0,2),C_1(0,1,0),B(1,1,2),C(0,1,2)$。 由此可得相关向量：

• 直线 $CD$ 的方向向量：$\overrightarrow{DC}=(0,1,0)$
• 平面 $BD{C}_1$ 内的向量：$\overrightarrow{DB}=(1,1,0)$，$\overrightarrow{D{C}_1}=(0,1,-2)$

第三步：求平面 $BD{C}_1$ 的法向量 $\vec{n}$ 设 $\vec{n}=(x,y,z)$，则有： $\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{DB}=x+y=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{D{C}_1}=y-2z=0\end{array}$ 令 $z=1$，则 $y=2,x=-2$。 取平面 $BD{C}_1$ 的一个法向量 $\vec{n}=(-2,2,1)$。

第四步：计算线面角的正弦值 设 $CD$ 与平面 $BD{C}_1$ 所成角为 $\theta$，则： $\sin \theta =\frac{|\vec{n}\cdot \overrightarrow{DC}|}{|\vec{n}|\cdot |\overrightarrow{DC}|}=\frac{|-2\times 0+2\times 1+1\times 0|}{\sqrt{(-2{)}^2+2^2+1^2}\cdot \sqrt{0^2+1^2+0^2}}$ $\sin \theta =\frac{2}{3\times 1}=\frac{2}{3}$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与平面所成角的计算。

核心方法：空间向量坐标法。它将复杂的空间位置关系寻找（如垂线段、投影）简化为代数运算，准确率高。

避坑指南：- 坐标系的建立要方便计算。 - 注意线面角的正弦值对应的是向量夹角的余弦绝对值。 - 求解法向量时，赋值过程不要出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线线角、线面平行的判定。

结论推广：若求点到平面的距离，公式为 $d=\frac{|\overrightarrow{PD}\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}$（其中 $P$ 为面上一点）。

方法推广：对于求二面角，则需计算两个半平面的法向量夹角，再根据图形判断锐角或钝角。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2024-新高考II卷-07 单-线面角
• 2015-天津卷文-17 解-线面角
• 2014-浙江卷文-20 解-线面角