2015-山东卷文-02 单-共轭复数

本题导读

由 $\frac{\bar{z}}{1-i}=i$ 反解出 $\bar{z}$，再取共轭得 $z$。

📌【题干】

Question

（2015年山东卷(文)） 若复数 $z$ 满足 $\frac{\bar{z}}{1-i}=i$，其中 $i$ 为虚数单位，则 $z=$ ()

A. $1-i$　　　　　　B. $1+i$　　　　　　C. $-1-i$　　　　　　D. $-1+i$

🔍【思路分析】

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由 $\frac{\bar{z}}{1-i}=i$ 反解出 $\bar{z}$，再取共轭得 $z$。注意分子是 $\bar{z}$（共轭），最后还要”翻回去”一次。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由 $\frac{\bar{z}}{1-i}=i$ 得 $\bar{z}=i(1-i)=i-i^2=1+i$。

所以 $z=\overline{1+i}=1-i$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：共轭复数的定义；复数的乘法运算

核心方法：两边同乘分母先求 $\bar{z}$，再由共轭对称性得 $z$

避坑指南：（1）分子是 $\bar{z}$ 而不是 $z$，求出 $\bar{z}=1+i$ 后必须再取一次共轭；（2）$i(1-i)=i-i^2=1+i$，注意 $-i^2=+1$，符号不能错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：复数题固定考查”四则运算 + 共轭/模”，本题以共轭为落点，是 2015 年多套卷的公共套路。

结论推广：若求 $|z|$，则 $|z|=|\bar{z}|=|1+i|=\sqrt{2}$——共轭不改变模。

方法推广：“化成形如 $w=\frac{a+bi}{c+di}$ 再整理”的通法适用于一切复数方程；见到 $\bar{z}$ 先当未知数解出它。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练(Links)

• 2015-山东卷理-2
• 2014-山东卷理-01 单-复数的相等与共轭
• 2011-山东卷理-02