2015-新课标I卷理-03 单-量词命题

本题导读

本题考查含有量词的命题的否定。核心在于掌握特称命题（存在性命题）的否定形式是全称命题，并准确改变结论的符号。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅰ(理)） 设命题 $p：\exists n\in \mathbb{N},n^2>2^n$，则 $\neg p$ 为 ()

A. $\forall n\in \mathbb{N},n^2>2^n$　　　　　　　　　　　　　　　B. $\exists n\in \mathbb{N},n^2⩽2^n$

C. $\forall n\in \mathbb{N},n^2⩽2^n$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $\exists n\in \mathbb{N},n^2=2^n$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别原命题类型：原命题 $p$ 中含有存在量词 “$\exists$”，属于特称命题（存在性命题）。
2. 应用否定规则：
   • 将存在量词 “$\exists$” 改为全称量词 “$\forall$”。
   • 将结论 $P(n)$ 改为它的否定 $\neg P(n)$。
3. 符号变换：大于号 “$>$” 的否定是小于等于号 “$⩽$”。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

1. 量词转换： 原命题量词为 “存在一个 $n\in \mathbb{N}$”，否定时应改为 “对于任意的 $n\in \mathbb{N}$”，即 $\exists \to \forall$。

2. 结论否定： 原命题的判断部分为 $n^2>2^n$，其反面（否定）是 $n^2$ 不大于 $2^n$，即 $n^2⩽2^n$。

3. 组合结果： 命题 $p$ 的否定 $\neg p$ 为：$\forall n\in \mathbb{N},n^2⩽2^n$。

最终答案为：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心口诀： “改量词，否结论”。
   • 全称命题的否定是特称命题。
   • 特称命题的否定是全称命题。
2. 符号对应表：

   原符号	否定符号
   $>$	$⩽$
   $<$	$⩾$
   $=$	$\ne$
   都是	不都是（至少有一个不是）
   至少有一个	一个也没有

3. 易错提醒：考生容易只改量词忘记否结论，或者在否定 “$>$” 时漏掉 “$=$” 变成 “$<$”。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广:
  • 对于任何形式为 $\exists x\in S,P(x)$ 的命题，其否定均为 $\forall x\in S,\neg P(x)$。
• 方法推广:
  • 真假判定法：若原命题为真，则其否定必为假。虽然本题只要求写出形式，但通过代入 $n=3$ 可知 $3^2=9,2^3=8,9>8$，原命题为真，故否定命题必为假。
• 相关知识点:
  • 逻辑联结词：且（$\wedge$）、或（$\vee$）、非（$\neg$）的运算规律（德·摩根定律在逻辑中的体现）。
  • 数学归纳法：题目中的 $n^2>2^n$ 在 $n⩾5$ 时是不成立的（实际上 $2^n$ 增长更快），这与该逻辑题的纯形式变换无关，但有助于理解背景。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语

类题演练(Links)

• 2024-新高考II卷-02 单-命题及其否定
• 2023-北京卷-13 填-正切函数性质
• 2022-高考上海卷-21