2015-新课标I卷理-15 填-线性规划

本题导读

本题考查简单线性规划。与常见的截距型目标函数不同，本题目标函数为分式形式，其几何意义对应可行域内的点与原点连线的斜率。通过作出可行域并寻找斜率最大的边界点即可求解。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅰ(理)） 若 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x-1⩾0\\ x-y⩽0\\ x+y-4⩽0\end{array}$，则 $\frac{y}{x}$ 的最大值为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 作出可行域：根据三个二元一次不等式在平面直角坐标系中画出对应的半平面区域，确定它们的公共部分（可行域）。
2. 分析目标函数：设 $k=\frac{y}{x}=\frac{y-0}{x-0}$。由此可知，$k$ 的几何意义是可行域内的点 $M(x,y)$ 与原点 $O(0,0)$ 连线的斜率。
3. 寻找极值点：观察可行域相对于原点的位置，旋转过原点的直线，寻找斜率最大时直线所经过的顶点。
4. 计算结果：求出该顶点的坐标，代入计算斜率值。

✅【答案】

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3

✍【详细解析】

Abstract

第一步：画出可行域

不等式组确定的可行域是一个三角形区域，其边界直线分别为：

• $l_1:x=1$

• $l_2:y=x$

• $l_3:x+y=4$

第二步：确定顶点坐标

通过联立直线方程求出三角形的三个顶点：

1. 联立 $x=1$ 与 $x+y=4$，解得顶点 $A(1,3)$。
2. 联立 $x=1$ 与 $y=x$，解得顶点 $B(1,1)$。
3. 联立 $y=x$ 与 $x+y=4$，解得顶点 $C(2,2)$。 可行域即为 $△ABC$ 及其内部。

第三步：寻找最大斜率

目标函数 $k=\frac{y}{x}$ 表示动点 $(x,y)$ 与原点 $(0,0)$ 连线的斜率。

• 原点 $O(0,0)$ 在可行域外。
• 连接 $OA,OB,OC$。
• 计算斜率：
  • $k_{OA}=\frac{3}{1}=3$
  • $k_{OB}=\frac{1}{1}=1$
  • $k_{OC}=\frac{2}{2}=1$ 通过数形结合可见，当直线经过点 $A(1,3)$ 时，直线的倾斜角最大，斜率 $k$ 取得最大值。

故 $\frac{y}{x}$ 的最大值为 $3$。

最终答案为：3


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 分式型目标函数：形如 $z=\frac{y-b}{x-a}$ 的目标函数，几何意义是可行域内的点与定点 $(a,b)$ 连线的斜率。
2. 距离型目标函数：形如 $z=x^2+y^2$ 表示可行域内的点到原点距离的平方。
3. 避坑指南：在使用斜率法时，务必注意定点（本题为原点）是否在可行域的某条边界延长线上，以及可行域是否跨越了 $y$ 轴（导致斜率不存在的情况），本题中 $x⩾1$ 避开了这些问题。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若目标函数为 $\frac{y+1}{x+2}$，则应寻找点 $(x,y)$ 与定点 $(-2,-1)$ 连线的斜率。
• 方法推广:
  • 截距法：若目标函数为 $z=ax+by$，则转化为直线的截距问题。
• 相关知识点:

  • - **凸集性质**：线性规划的最优解通常在可行域的顶点（或边界线段）上取得。
    

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 20.13 对数平均与指数平均不等式专题
• 10.07 常见三角不等式

类题演练(Links)

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