2015-新课标I卷理-18 解-面面垂直

本题导读

本题是立体几何综合证明题。第一问考查面面垂直的判定，需要通过线面垂直进行转化；第二问考查异面直线所成角的计算，推荐使用空间向量法，将几何关系坐标化后利用向量夹角公式求解。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅰ(理)） 如图，四边形 $ABCD$ 为菱形，$\angle ABC=120^{\circ }$，$E,F$ 是平面 $ABCD$ 同一侧的两点，$BE\perp$ 平面 $ABCD$，$DF\perp$ 平面 $ABCD$，$BE=2DF$，$AE\perp EC$.

(1) 证明：平面 $AEC\perp$ 平面 $AFC$；

(2) 求直线 $AE$ 与直线 $CF$ 所成角的余弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：证明面面垂直
   • 菱形 $ABCD$ 的对角线 $AC\perp BD$。设交点为 $G$。
   • 证明线面垂直：寻找平面 $AEC$ 内的一条直线（如 $EG$）垂直于平面 $AFC$ 内的直线。
   • 利用已知条件 $AE\perp EC$ 及菱形对称性，通过勾股定理或三角函数计算证明相关线段的垂直关系。
2. 第二问：求异面直线角
   • 建立坐标系：以 $G$ 为原点，$GB,GC$ 所在直线分别为 $x,y$ 轴，过 $G$ 垂直于平面的直线为 $z$ 轴建立空间直角坐标系。
   • 坐标化：设 $DF=h$，利用 $AE\perp EC$ 确定 $h$ 的值。写出 $A,E,C,F$ 各点坐标。
   • 计算：求出向量 $\overrightarrow{AE}$ 与 $\overrightarrow{CF}$，利用公式 $\cos \theta =\frac{|\vec{a}\cdot \vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$ 求解。

✅【答案】

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故直线 $AE$ 与 $CF$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明：平面 $AEC\perp$ 平面 $AFC$ 连接 $BD$，设 $AC\cap BD=G$。连接 $EG,FG$。 因为 $ABCD$ 是菱形，$\angle ABC=120^{\circ }$，所以 $△ABC$ 为等腰三角形，且 $\angle GBC=60^{\circ }$。 不妨设 $GB=1$，则 $GC=\sqrt{3},AC=2\sqrt{3},BD=2$。 由 $BE\perp$ 平面 $ABCD$，$DF\perp$ 平面 $ABCD$，设 $DF=h$，则 $BE=2h$。 在 $Rt△EBC$ 中，$E{C}^2=B{E}^2+B{C}^2=(2h{)}^2+4$。 在 $Rt△EBA$ 中，$E{A}^2=B{E}^2+A{B}^2=(2h{)}^2+4$。 因为 $AE\perp EC$，在 $△AEC$ 中，$A{C}^2=E{A}^2+E{C}^2$。 即 $(2\sqrt{3}{)}^2=(4h^2+4)+(4h^2+4)⟹12=8h^2+8⟹h^2=\frac{1}{2},h=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 从而 $BE=\sqrt{2},DF=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 在 $Rt△EGB$ 中，$E{G}^2=B{E}^2+B{G}^2=2+1=3⟹EG=\sqrt{3}$。 在 $Rt△FGD$ 中，$F{G}^2=D{F}^2+D{G}^2=\frac{1}{2}+1=\frac{3}{2}⟹FG=\frac{\sqrt{6}}{2}$。 同时，在直角梯形 $BDFE$ 中，可算得 $E{F}^2=B{D}^2+(BE-DF{)}^2=2^2+(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2=\frac{9}{2}$。 观察 $△EFG$：$E{G}^2+F{G}^2=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}=E{F}^2$。 根据勾股定理逆定理，$EG\perp FG$。 又因为 $AC\perp$ 平面 $BDE$（菱形性质及线面垂直），所以 $AC\perp EG$。 因为 $AC\cap FG=G$，所以 $EG\perp$ 平面 $AFC$。 又 $EG\subset$ 平面 $AEC$，故 平面 $AEC\perp$ 平面 $AFC$。

(2) 求直线 $AE$ 与直线 $CF$ 所成角的余弦值


以 $G$ 为原点，$\overrightarrow{GB},\overrightarrow{GC}$ 方向分别为 $x,y$ 轴正方向，建立空间直角坐标系 $G-xyz$。 由（Ⅰ）可知 $h=\frac{\sqrt{2}}{2}$，各点坐标为： $A(0,-\sqrt{3},0),C(0,\sqrt{3},0),B(1,0,0),D(-1,0,0)$ $E(1,0,\sqrt{2}),F(-1,0,\frac{\sqrt{2}}{2})$。 计算方向向量： $\overrightarrow{AE}=(1,\sqrt{3},\sqrt{2})$，$|\overrightarrow{AE}|=\sqrt{1+3+2}=\sqrt{6}$。 $\overrightarrow{CF}=(-1,-\sqrt{3},\frac{\sqrt{2}}{2})$，$|\overrightarrow{CF}|=\sqrt{1+3+\frac{1}{2}}=\frac{3}{\sqrt{2}}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。 计算数量积： $\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{CF}=1(-1)+\sqrt{3}(-\sqrt{3})+\sqrt{2}(\frac{\sqrt{2}}{2})=-1-3+1=-3$。 设直线 $AE$ 与 $CF$ 所成角为 $\theta$： $\cos \theta =\frac{|\overrightarrow{AE}\cdot \overrightarrow{CF}|}{|\overrightarrow{AE}|\cdot |\overrightarrow{CF}|}=\frac{|-3|}{\sqrt{6}\cdot \frac{3\sqrt{2}}{2}}=\frac{3}{3\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。 故直线 $AE$ 与 $CF$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 垂直转换的核心：证明面面垂直通常转化为“线面垂直”，而线面垂直又依赖于“线线垂直”。本题中证明 $EG\perp$ 平面 $AFC$ 是解题的关键。
2. 建系的灵活性：在底面为菱形且存在垂直于底面的侧棱时，以对角线交点为原点建系能极大简化坐标计算。
3. 参数设定的必要性：第二问中 $DF$ 的长度未直接给出，需利用 $AE\perp EC$ 这一隐含条件先求出线段长度，再进行向量运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若侧棱 $BE,DF$ 长度满足 $BE\cdot DF=BG\cdot DG$（针对特定角度），则常会出现类似的垂直关系。
• 方法推广:
  • 几何投影法：异面直线角也可以通过平移直线至同一顶点，构造三角形并使用余弦定理求解。
• 相关知识点:

  • - **向量夹角公式**：注意直线夹角范围是 $[0, \pi/2]$，故结果必须取绝对值。
    

  • 面面垂直判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质
• 21.02 空间向量与线面位置关系判定

类题演练(Links)

• 2025-天津卷-17 解-立几综合
• 2021-乙卷理-05 单-异面直线夹角
• 2015-四川卷理-14 填-异面直线角