2015-新课标II卷理-17 解-正弦定理

本题导读

本题考查解三角形的综合应用。第一问利用等高三角形面积比确定底边比例，结合正弦定理求正弦值之比；第二问利用角平分线性质及余弦定理建立关于边长的方程求解。

📌【题干】

Question

（2015年新课标Ⅱ(理)） 在 $△ABC$ 中，$D$ 是 $BC$ 上的点，$AD$ 平分 $\angle BAC$，$△ABD$ 的面积是 $△ADC$ 面积的 2 倍.

(1) 求 $\frac{\sin B}{\sin C}$；

(2) 若 $AD=1$，$DC=\frac{\sqrt{2}}{2}$，求 $BD$ 和 $AC$ 的长.

🔍【思路分析】

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1. 第一问思路：
   • 底边关系：$△ABD$ 与 $△ADC$ 具有相同的高（过点 $A$ 作 $BC$ 的垂线），面积之比即为底边之比，从而得到 $BD=2DC$。
   • 正弦定理：在 $△ABD$ 和 $△ADC$ 中分别应用正弦定理，利用 $\angle BAD=\angle DAC$ 将 $\sin B$ 与 $\sin C$ 联系起来。
2. 第二问思路：
   • 角平分线性质：利用面积公式 $S=\frac{1}{2}bc\sin A$ 及角平分线条件，可证得 $AB=2AC$。
   • 建立方程：设 $AC=x$，则 $AB=2x$。由于 $\angle BAD=\angle DAC$，利用余弦定理分别表示出这两个角的余弦值并令其相等，解出 $x$。

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$BD$ 的长为 $\sqrt{2}$，$AC$ 的长为 1

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $\frac{\sin B}{\sin C}$ 如图，过 $A$ 作 $AE\perp BC$ 于 $E$。 则 $S_{△ABD}=\frac{1}{2}BD\cdot AE$，$S_{△ADC}=\frac{1}{2}DC\cdot AE$。 因为 $S_{△ABD}=2S_{△ADC}$，所以 $BD=2DC$。 在 $△ABD$ 中，由正弦定理得：$\frac{BD}{\sin \angle BAD}=\frac{AD}{\sin B}$，即 $\sin B=\frac{AD\cdot \sin \angle BAD}{BD}$。 在 $△ADC$ 中，由正弦定理得：$\frac{DC}{\sin \angle DAC}=\frac{AD}{\sin C}$，即 $\sin C=\frac{AD\cdot \sin \angle DAC}{DC}$。 因为 $AD$ 平分 $\angle BAC$，所以 $\angle BAD=\angle DAC$。 因此，$\frac{\sin B}{\sin C}=\frac{DC}{BD}=\frac{DC}{2DC}=\frac{1}{2}$。

(2) 求 $BD$ 和 $AC$ 的长 由（1）知 $BD=2DC$。因为 $DC=\frac{\sqrt{2}}{2}$，所以 $BD=\sqrt{2}$。 过 $D$ 作 $DM\perp AB$ 于 $M$，$DN\perp AC$ 于 $N$。 因为 $AD$ 平分 $\angle BAC$，所以 $DM=DN$。 由面积关系知：$\frac{S_{△ABD}}{S_{△ADC}}=\frac{\frac{1}{2}AB\cdot DM}{\frac{1}{2}AC\cdot DN}=\frac{AB}{AC}=2$，即 $AB=2AC$。 设 $AC=x$，则 $AB=2x$。 在 $△ABD$ 中，由余弦定理：$\cos \angle BAD=\frac{(2x{)}^2+1^2-(\sqrt{2}{)}^2}{2\cdot 2x\cdot 1}=\frac{4x^2-1}{4x}$。 在 $△ADC$ 中，由余弦定理：$\cos \angle DAC=\frac{x^2+1^2-(\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2}{2\cdot x\cdot 1}=\frac{x^2+\frac{1}{2}}{2x}$。 因为 $\angle BAD=\angle DAC$，所以 $\cos \angle BAD=\cos \angle DAC$： $\frac{4x^2-1}{4x}=\frac{x^2+\frac{1}{2}}{2x}$ $4x^2-1=2(x^2+\frac{1}{2})$ $4x^2-1=2x^2+1⟹2x^2=2⟹x=1\text{（舍去负值）}$ 故 $AC=1$。

综上，$BD$ 的长为 $\sqrt{2}$，$AC$ 的长为 1。


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、角平分线的性质（距离相等及比例关系）。
• 核心方法：边角互化与方程思想。利用题目给出的比例关系转化为边长关系，再利用余弦定理作为桥梁列出方程。
• 避坑指南：计算 $BD$ 时不要漏乘倍数。在第二问中，利用角平分线段比例定理 $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$ 也可以直接得到 $AB=2AC$。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 三角形角平分线定理：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，即 $\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}$。 *方法推广: 遇到三角形内部连线分成的两个三角形，利用共角（或互补角）及共高（或底边比例）关系是解题的常用突破口。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练(Links)

• 2024-北京卷-16 解-解三角形
• 2023-甲卷理-16 填-角平分线定理
• 2022-高考北京卷-16