2015-湖北卷文-16 填-圆与切线

本题导读

圆心 $(1,r)$，到 $y$ 轴距离 1、半弦 1，得 $r^2=2$，方程 $(x-1{)}^2+(y-\sqrt{2}{)}^2=2$；$B(0,1+\sqrt{2})$，切线斜率 1，在 $x$ 轴截距 $-1-\sqrt{2}$。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(文)） 如图，圆 $C$ 与 $x$ 轴相切于点 $T(1,0)$，与 $y$ 轴正半轴交于两点 $A$，$B$（$B$ 在 $A$ 的上方），且 $|AB|=2$.

(1) 圆 $C$ 的标准方程为 $\underline{}$ ；

(2) 圆 $C$ 在点 $B$ 处的切线在 $x$ 轴上的截距为 $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

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圆心 $(1,r)$，到 $y$ 轴距离 1、半弦 1，得 $r^2=2$，方程 $(x-1{)}^2+(y-\sqrt{2}{)}^2=2$；$B(0,1+\sqrt{2})$，切线斜率 1，在 $x$ 轴截距 $-1-\sqrt{2}$。

✅【答案】

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(1) $(x-1{)}^2+(y-\sqrt{2}{)}^2=2$

(2) $-1-\sqrt{2}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 圆 $C$ 与 $x$ 轴切于 $T(1,0)$，故圆心为 $(1,r)$（$r>0$）。圆心到 $y$ 轴的距离为 $1$，由弦长公式 ${\left(\frac{|AB|}{2}\right)}^2+1^2=r^2$，得 $1+1=r^2$，$r=\sqrt{2}$。

故圆 $C:(x-1{)}^2+(y-\sqrt{2}{)}^2=2$。

(2) $A$，$B$ 的纵坐标为 $\sqrt{2}\pm 1$，故 $B(0,1+\sqrt{2})$。$k_{CB}=\frac{1}{-1}=-1$，切线与 $CB$ 垂直，斜率为 $1$，切线方程 $y=x+1+\sqrt{2}$。

令 $y=0$ 得 $x=-1-\sqrt{2}$，即切线在 $x$ 轴上的截距为 $-1-\sqrt{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的标准方程；直线与圆的位置关系（弦长、切线）

核心方法：垂径定理型弦长公式 $r^2=d^2+(\text{半弦}{)}^2$；”$r\perp$ 切线”定切线斜率

避坑指南：①圆心纵坐标是 $\sqrt{2}$ 而非 2；②求截距时令 $y=0$ 解 $x$，符号别丢；③问的是”$x$ 轴上的截距”而不是”截距和”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆与位置关系的双空填空是湖北卷填空的特色载体（doc 考点定位：直线与圆的位置关系、直线的方程）。

结论推广：过圆 $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ 上一点 $(x_0,y_0)$ 的切线：$(x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2$。

方法推广：圆的切线：圆上一点用”半径垂直”，圆外一点用”点圆距 = 半径”或点斜式联立判别式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 17.06 圆的切线与极点极线

类题演练(Links)

• 2015-湖北卷理-16 填-极坐标
• 2013年湖北卷理-16
• 2014-湖北卷理-15 填-切割线定理