2008-湖南卷文-14 填-圆平移与切线斜率

本题导读

圆心 $(1,0)$、半径 $1$；$d=\frac{|2k|}{\sqrt{k^2+1}}=1\Rightarrow k=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(文)） 将圆 $x^2+y^2=1$ 沿 $x$ 轴正向平移 $1$ 个单位后所得到圆 $C$，则圆 $C$ 的方程是　　　；若过点 $(3,0)$ 的直线 $l$ 和圆 $C$ 相切，则直线 $l$ 的斜率为　　　.

🔍【思路分析】

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平移后圆心 $(1,0)$；设切线 $y=k(x-3)$，圆心到直线距离 $\frac{|k-3k|}{\sqrt{k^2+1}}=1$.

✅【答案】

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$(x-1{)}^2+y^2=1$；$\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

圆 $x^2+y^2=1$ 沿 $x$ 轴正向平移 $1$ 个单位，圆心变为 $(1,0)$，半径不变，圆 $C$ 的方程为 $(x-1{)}^2+y^2=1$. 设切线 $l$：$y=k(x-3)$，即 $kx-y-3k=0$. 圆心 $(1,0)$ 到 $l$ 的距离$d=\frac{|k-3k|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{2|k|}{\sqrt{k^2+1}}$. 相切时 $d=1$：$4k^2=k^2+1$，$k^2=\frac{1}{3}$，$k=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：圆的平移与切线

核心方法：平移只动圆心不动半径；切线条件用圆心到直线距离等于半径

避坑指南：过圆外一点作切线有两条，斜率两解 $\pm \frac{\sqrt{3}}{3}$；$d$ 的分子是 $|-2k|=2|k|$，绝对值别丢

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：圆与直线位置关系的常规题（平移 + 相切）

结论推广：图形平移 = 关键点平移；相切 $⟺d=r$

方法推广：切线斜率两解时别只写一个；若斜率不存在情形（竖直线）也要排查，本题 $(3,0)$ 处竖直线不是切线

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.01 圆的方程与圆系理论
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2011-湖南卷文-07 单-切线斜率
• 2014-湖南卷文-06 单-圆与圆
• 2009-湖北卷文-14 填-圆的切点弦
• 2015-湖北卷文-16 填-圆与切线