2015-湖北卷理-16 填-极坐标

本题导读

本题考查极坐标方程、参数方程与直角坐标方程的互化。通过消去参数和坐标代换，将直线与双曲线的交点问题转化为直角坐标系下的方程组求解，最后利用两点间距离公式求弦长。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(理)） （选修 4-4：坐标系与参数方程） 在直角坐标系 $xOy$ 中，以 $O$ 为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 $l$ 的极坐标方程为 $\rho (\sin \theta -3\cos \theta )=0$，曲线 $C$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=t-\frac{1}{t}\\ y=t+\frac{1}{t}\end{array}$ ($t$ 为参数)，$l$ 与 $C$ 相交于 $A,B$ 两点，则 $|AB|=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化直线 $l$：利用 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$，将极坐标方程化为直角坐标方程。
2. 转化曲线 $C$：利用平方关系 $y^2-x^2=(t+\frac{1}{t}{)}^2-(t-\frac{1}{t}{)}^2$ 消去参数 $t$，得到双曲线的标准方程。
3. 联立求解：将直线的线性方程代入双曲线方程，求出交点 $A,B$ 的具体坐标。
4. 计算弦长：利用两点间距离公式 $d=\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$ 求得 $|AB|$。

✅【答案】

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$2\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：极坐标化为直角坐标 由 $\rho (\sin \theta -3\cos \theta )=0$ 得： $\rho \sin \theta -3\rho \cos \theta =0$ 代入 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 得直角坐标方程： $y-3x=0⟹y=3x$

第二步：参数方程化为普通方程 已知曲线 $C$：$\{\begin{array}{l}x=t-\frac{1}{t}\\ y=t+\frac{1}{t}\end{array}$ 分别平方得： $x^2=t^2+\frac{1}{t^2}-2$ $y^2=t^2+\frac{1}{t^2}+2$ 两式相减得： $y^2-x^2=4$ 由于 $y=t+\frac{1}{t}$，当 $t>0$ 时 $y\ge 2$，当 $t<0$ 时 $y\le -2$，曲线 $C$ 为等轴双曲线的两支。

第三步：联立方程组求交点 将 $y=3x$ 代入 $y^2-x^2=4$： $(3x{)}^2-x^2=4$ $8x^2=4⟹x^2=\frac{1}{2}$ 解得 $x_1=\frac{\sqrt{2}}{2},x_2=-\frac{\sqrt{2}}{2}$。 代入 $y=3x$ 得： $y_1=\frac{3\sqrt{2}}{2},y_2=-\frac{3\sqrt{2}}{2}$。 故交点为 $A(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2})$，$B(-\frac{\sqrt{2}}{2},-\frac{3\sqrt{2}}{2})$。

第四步：计算弦长 $|AB|$ 根据两点间距离公式： $|AB|=\sqrt{(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}{)}^2+(\frac{3\sqrt{2}}{2}+\frac{3\sqrt{2}}{2}{)}^2}$ $|AB|=\sqrt{(\sqrt{2}{)}^2+(3\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{2+18}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$

答案：$2\sqrt{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：极坐标转化公式、参数方程的平方消参法、两点间距离公式。
• 避坑指南：在消去参数 $t$ 时，若题目要求轨迹范围，需注意 $y$ 的取值限制（利用均值不等式 $|y|\ge 2$）。本题求弦长，即便不写范围也不影响结果，但养成严谨习惯很重要。
• 核心方法：遇到 $t\pm 1/t$ 型参数方程，利用平方差消参是标准技巧。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 对于双曲线 $y^2-x^2=m$ 与经过原点的直线 $y=kx$ 的弦长，公式可简化为 $|AB|=2\sqrt{\frac{m(1+k^2)}{k^2-1}}$。
• 方法推广:
  • 弦长公式法：若不求具体点坐标，可利用公式 $|AB|=\sqrt{1+k^2}|x_1-x_2|$ 配合韦达定理求解。
• 相关知识点: 、双曲线的渐近线、参数方程的几何意义。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练(Links)

• 2014-湖北卷理-16 填-参数方程互化
• 2013年湖北卷理-16
• 2012-湖北卷理-16