2014-湖北卷理-16 填-参数方程互化

本题导读

本题考查参数方程、极坐标方程向直角坐标方程的转化。通过统一坐标系，利用方程组求解两曲线的交点坐标，重点在于转化过程中的范围限制。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(理)） （选修4-4：坐标系与参数方程）已知曲线 $C_1$ 的参数方程是 $\{\begin{array}{l}x=\sqrt{t}\\ y=\frac{\sqrt{3t}}{3}\end{array}$ ($t$ 为参数)，以坐标原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_2$ 的极坐标方程是 $\rho =2$，则 $C_1$ 与 $C_2$ 交点的直角坐标为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 转化曲线 $C_1$：利用消参法。观察发现 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}\sqrt{t}$，代入 $x=\sqrt{t}$ 得到 $x,y$ 的线性关系，并注意由于 $\sqrt{t}\ge 0$，需注明 $x,y$ 的范围。
2. 转化曲线 $C_2$：利用极坐标与直角坐标转换公式 ${\rho }^2=x^2+y^2$，将圆的极坐标方程化为直角坐标方程。
3. 联立求解：解二元方程组得到交点，并根据 $x,y$ 的范围约束剔除不符合要求的解。

✅【答案】

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$(\sqrt{3},1)$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：化 $C_1$ 的参数方程为直角坐标方程 由 $\{\begin{array}{l}x=\sqrt{t}\\ y=\frac{\sqrt{3t}}{3}\end{array}$ 可知： $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$。 因为 $t$ 是参数且通常默认 $\sqrt{t}$ 意义下 $t\ge 0$，所以 $x=\sqrt{t}\ge 0$。 故曲线 $C_1$ 是从原点出发的一条射线：$y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$ ($x\ge 0$)。

第二步：化 $C_2$ 的极坐标方程为直角坐标方程 由 $\rho =2$ 两边平方得 ${\rho }^2=4$。 根据公式 ${\rho }^2=x^2+y^2$，得： $x^2+y^2=4$。 这表示一个以原点为圆心，半径为 2 的圆。

第三步：联立方程组求交点 联立 $\{\begin{array}{l}y=\frac{\sqrt{3}}{3}x\\ x^2+y^2=4\\ x\ge 0\end{array}$： 将 (1) 代入 (2) 得： $x^2+(\frac{\sqrt{3}}{3}x{)}^2=4$ $x^2+\frac{1}{3}{x}^2=4$ $\frac{4}{3}{x}^2=4⟹x^2=3$。 由于 $x\ge 0$，取 $x=\sqrt{3}$。 代入 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x$ 得： $y=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot \sqrt{3}=1$。

故交点的直角坐标为 $(\sqrt{3},1)$。

故答案为 $(\sqrt{3},1)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：参数方程、极坐标方程与直角坐标方程互化

2. 核心方法：消参得射线 $y=\frac{\sqrt{3}}{3}x(x\ge 0)$，$\rho =2$ 化 $x^2+y^2=4$，联立求交点

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 参数方程消参与极坐标互化

2. 结论推广: $\rho =2$ 对应圆 $x^2+y^2=4$。

3. 方法推广: 可迁移到参数方程、极坐标方程求交点类题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练 (Links)

• 2013-新课标I卷理-23 解-参数方程互化
• 2015-陕西卷文-23 解-参数方程
• 2014-辽宁卷文-23 解-参数方程