2015-湖南卷文-12 填-极坐标方程

本题导读

$\rho =2\sin \theta$ 两边乘 $\rho$ 得 ${\rho }^2=2\rho \sin \theta$，即 $x^2+y^2-2y=0$。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(文)） 在直角坐标系 $xOy$ 中，以坐标原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 若曲线 $C$ 的极坐标方程为 $\rho =2\sin \theta$，则曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

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$\rho =2\sin \theta$ 两边乘 $\rho$ 得 ${\rho }^2=2\rho \sin \theta$，即 $x^2+y^2-2y=0$。

✅【答案】

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$x^2+y^2-2y=0$

✍【详细解析】

Abstract

由极坐标与直角坐标的关系 ${\rho }^2=x^2+y^2$、$\rho \sin \theta =y$，将 $\rho =2\sin \theta$ 两边同乘以 $\rho$：

${\rho }^2=2\rho \sin \theta$，即 $x^2+y^2=2y$，

故曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $x^2+y^2-2y=0$（圆心 $(0,1)$、半径 1 的圆）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标与直角坐标的互化

核心方法：“乘 $\rho$ 造 $\rho \sin \theta$“是标准转化手法

避坑指南：$\rho =2\sin \theta$ 中 $\rho$ 可为 0（$\theta =0$ 时原点也在曲线上），两边乘 $\rho$ 不增不漏根。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：极坐标方程互化是坐标系与参数方程板块的基础题（doc 考点定位：圆的极坐标方程）。

结论推广：$\rho =2r\sin \theta ⟺x^2+(y-r{)}^2=r^2$（过极点的圆）；一般 $\rho =2a\cos \theta +b\sin \theta$ 化为圆 ${\left(x-a\right)}^2+{\left(y-\frac{b}{2}\right)}^2=\frac{a^2}{4}+\frac{b^2}{4}$。

方法推广：见 $\rho =f(\sin \theta ,\cos \theta )$ 先想”乘 $\rho$、凑 $\rho \cos \theta$/$\rho \sin \theta$”。

🔗【关联脉络】

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