2015-湖南卷文-14 填-零点参数

本题导读

$|2x-2|=b$ 有两解 $⟺b>0$ 且 $2-b>0$，即 $0<b<2$。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(文)） 若函数 $f(x)=|2x-2|-b$ 有两个零点，则实数 $b$ 的取值范围是 $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

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$|2x-2|=b$ 有两解 $⟺b>0$ 且 $2-b>0$，即 $0<b<2$。

✅【答案】

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$(0,2)$

✍【详细解析】

Abstract

函数有两个零点等价于方程 $|2x-2|=b$ 有两个不同的实数解。必须先有 $b>0$。

分情况去掉绝对值：$2x-2=b$ 或 $2x-2=-b$，即 $2x=2+b$ 或 $2x=2-b$。

第一式对任意 $b>0$ 有唯一解；第二式有实数解当且仅当 $2-b>0$，即 $b<2$。当 $0<b<2$ 时两式右端不同且各给一解，恰有两个不同的解；$b=0$ 时两式给出同一个解；$b\ge 2$ 时第二式无实数解。

所以 $b$ 的取值范围为 $(0,2)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数零点与方程根的个数；绝对值方程

核心方法：“零点个数 = 方程解数”，去绝对值后逐支讨论

避坑指南：①$V$ 形折线与水平线相交须 $b>0$，$b=0$ 时只有切点一个零点；②$2x-2$ 的”折点”在 $x=1$，折点高度为 0，因此临界值是 $b=0$ 与 $b=2$（$2x-2$ 在 $x=0$ 处取 $-2$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：”$|kx+m|-b$ 零点个数”是函数零点板块的基础模型（doc 考点定位：函数零点）。

结论推广：一般地，$|2x-2|$ 的值域是 $[0,+\infty )$，水平线 $y=b$ 与之的交点个数：$b<0$ 零个、$b=0$ 一个、$b>0$ 两个——但 $x$ 不受限时；本题恰有两解即 $b>0$。注意 $2-b>0$ 的另一支来自”方程有解”的要求。

方法推广：绝对值函数零点：图象（$V$ 形）+ 水平线交点个数，或代数上分正负两支各求根再验不重合。

🔗【关联脉络】

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