2015-湖南卷理-01 单-复数运算

本题导读

本题考查复数的代数运算，重点在于完全平方公式在复数中的应用以及复数除法的分母实数化处理。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(理)） 已知 $\frac{(1-i{)}^2}{z}=1+i$（$i$ 为虚数单位），则复数 $z=$ ()

A. $1+i$　　　　　　B. $1-i$　　　　　　C. $-1+i$　　　　　　D. $-1-i$

🔍【思路分析】

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1. 化简分子：首先利用完全平方公式化简 $(1-i{)}^2$，注意 $i^2=-1$。
2. 变形方程：将原方程变形为 $z=\frac{(1-i{)}^2}{1+i}$。
3. 分母实数化：分子分母同乘分母的共轭复数 $1-i$，进行除法运算得到结果。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

首先化简分子： $(1-i{)}^2=1-2i+i^2=1-2i-1=-2i$。 由题意得： $\frac{-2i}{z}=1+i⟹z=\frac{-2i}{1+i}$。 对分母进行实数化处理： $z=\frac{-2i(1-i)}{(1+i)(1-i)}$ $z=\frac{-2i+2i^2}{1^2-i^2}$ 由于 $i^2=-1$： $z=\frac{-2i-2}{1+1}$ $z=\frac{-2-2i}{2}$ $z=-1-i$

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：复数代数形式的四则运算，特别是 $i^2=-1$ 的灵活应用。
• 常用结论：在高考中应熟记 $(1\pm i{)}^2=\pm 2i$ 以及 $\frac{1-i}{1+i}=-i$，这能显著加快基础题的解题速度。
• 避坑指南：在进行复数除法时，务必将分子分母同时乘以分母的共轭复数。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 对于任何非零复数 $z$，$\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$。
• 方法推广: 在处理复杂的复数表达式时，遵循“先化简、后运算”的原则。
• 相关知识点: 复数的模、共轭复数的性质、复平面的几何意义。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换
• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练(Links)

• 2014-湖南卷理-01 单-复数除法
• 2013年湖南卷理-1
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