2015-湖南卷理-17 解-正弦定理

本题导读

本题考查解三角形中的边角转化及三角函数最值的求解。第一问通过正弦定理实现边角互化，结合钝角条件确定角的关系；第二问利用第一问结论将双变量问题转化为单变量函数，利用二次函数性质求值域。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(理)） 设 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，$a=b\tan A$，且 $B$ 为钝角.

(1) 证明：$B-A=\frac{\pi }{2}$；

(2) 求 $\sin A+\sin C$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（证明角的关系）：
   • 边角互化：利用正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$，将 $a=b\tan A$ 中的边转化为角的正弦值。
   • 恒等变形：将 $\tan A$ 展开为 $\frac{\sin A}{\cos A}$，从而建立 $\sin B$ 与 $\cos A$ 的等量关系。
   • 诱导公式：利用 $\cos A=\sin (\frac{\pi }{2}+A)$，结合 $B$ 为钝角锁定唯一解。
2. 第二问（求值域）：
   • 统一变量：利用 $A+B+C=\pi$ 及（1）中结论，将 $C$ 表示为关于 $A$ 的函数。
   • 构造函数：代入 $\sin A+\sin C$，利用二倍角公式将其统一为关于 $\sin A$ 的二次函数。
   • 确定区间：由 $B$ 为钝角及 $C>0$ 确定角 $A$ 的取值范围，进而确定 $\sin A$ 的范围并求解。

✅【答案】

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由于 $\frac{\sqrt{2}}{2}<1<\frac{9}{8}$， 故 $\sin A+\sin C$ 的取值范围是 $(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{9}{8}]$

✍【详细解析】

Abstract

（1）证明：$B-A=\frac{\pi }{2}$ 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 可得 $a=\frac{b\sin A}{\sin B}$。 代入已知条件 $a=b\tan A$ 得： $\frac{b\sin A}{\sin B}=b\frac{\sin A}{\cos A}$ 由于 $A,B$ 是三角形内角，故 $\sin A\ne 0,b\ne 0$，约简得： $\sin B=\cos A$ 根据诱导公式，$\cos A=\sin (\frac{\pi }{2}-A)$ 或 $\sin (\frac{\pi }{2}+A)$。 因为 $B$ 为钝角，且 $A$ 是三角形内角，所以 $B\in (\frac{\pi }{2},\pi )$。 又 $\cos A=\sin (\frac{\pi }{2}+A)$，且 $\frac{\pi }{2}+A\in (\frac{\pi }{2},\pi )$， 由正弦函数在 $(\frac{\pi }{2},\pi )$ 上是单调递减的，故 $B=\frac{\pi }{2}+A$。 即：$B-A=\frac{\pi }{2}$。 证毕。

（2）解：$\sin A+\sin C$ 的取值范围 在 $△ABC$ 中，$C=\pi -(A+B)$。 由（1）知 $B=A+\frac{\pi }{2}$，代入得： $C=\pi -(A+A+\frac{\pi }{2})=\frac{\pi }{2}-2A$ 因为 $C>0$，所以 $\frac{\pi }{2}-2A>0⟹A<\frac{\pi }{4}$。 又 $A>0$，故 $A\in (0,\frac{\pi }{4})$，则 $\sin A\in (0,\frac{\sqrt{2}}{2})$。 令 $y=\sin A+\sin C=\sin A+\sin (\frac{\pi }{2}-2A)=\sin A+\cos 2A$。 利用二倍角公式 $\cos 2A=1-2{\sin }^{2}A$ 变形得： $y=-2{\sin }^{2}A+\sin A+1$ 设 $t=\sin A$，其中 $t\in (0,\frac{\sqrt{2}}{2})$。 函数 $f(t)=-2(t-\frac{1}{4}{)}^2+\frac{9}{8}$。 当 $t=\frac{1}{4}$ 时，$y$ 取得最大值 $\frac{9}{8}$。 当 $t\to 0$ 时，$y\to 1$； 当 $t=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 时，$y=-2(\frac{1}{2})+\frac{\sqrt{2}}{2}+1=\frac{\sqrt{2}}{2}$。 由于 $\frac{\sqrt{2}}{2}<1<\frac{9}{8}$， 故 $\sin A+\sin C$ 的取值范围是 $(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{9}{8}]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：正弦定理的变式应用；诱导公式在解三角形中的唯一性判定；二次函数在限定区间上的最值。
• 避坑指南：第一问中 $\sin B=\cos A$ 容易漏掉 $B$ 是钝角的限制。第二问中 $A$ 的取值范围必须由 $C>0$ 导出（即 $A<\pi /4$），否则求出的值域会偏大。
• 在处理“边角混合”等式时，优先通过正弦定理统一为角。在求范围问题时，切记“先求变量范围，再求函数值域”。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若 $a=b\cot A$，则可同理推导角的关系。
• 方法推广:
  • 辅助角公式法：若目标式为 $\sin A+\cos A$ 型，可直接使用辅助角公式。
• 相关知识点: 余弦定理、辅助角公式、三角形内角和定理、三角函数图象。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 11.03 解三角形与解的个数判定

类题演练(Links)

• 2004-湖南理-17 解-诱导公式与两角和与差的正弦公式
• 2013年湖南卷理-17
• 2011-湖南卷理-17