2015-福建卷文-03 单-函数奇偶性

本题导读

考查基本初等函数的奇偶性。用定义 $f(-x)=\pm f(x)$ 逐一检验，或先用定义域、对称性排除。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(文)） 下列函数为奇函数的是 ()

A. $y=\sqrt{x}$　　　　　B. $y={\mathrm{e}}^x$　　　　　C. $y=\cos x$　　　　　D. $y={\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}$

🔍【思路分析】

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1. 奇函数前提：定义域关于原点对称。
2. 检验 $f(-x)$ 与 $-f(x)$ 的关系，逐一排除。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

A 中 $y=\sqrt{x}$ 定义域为 $[0,+\infty )$，不关于原点对称，非奇非偶；

B 中 $y={\mathrm{e}}^x$ 恒正，非奇非偶；

C 中 $\cos (-x)=\cos x$，为偶函数；

D 中令 $f(x)={\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}$，则 $f(-x)={\mathrm{e}}^{-x}-{\mathrm{e}}^x=-f(x)$，且定义域为 $\mathbf{R}$，是奇函数。故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：奇偶性的定义；常见函数的奇偶性。

2. 核心方法：“定义域优先 → 代 $-x$ 检验”两步走。

3. 避坑指南：$\cos x$ 是偶函数、$\sin x$ 才是奇函数；判断奇偶前必须先看定义域是否关于原点对称（A 即栽在定义域上）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：奇偶性判断是函数章节的基本功题，四个选项常由”指数、三角、根式”三类基本函数拼成。

2. 结论推广: $f(x)={\mathrm{e}}^x-{\mathrm{e}}^{-x}$ 与 $g(x)={\mathrm{e}}^x+{\mathrm{e}}^{-x}$ 分别是奇、偶函数，且 $f^2+4=g^2$。

3. 方法推广: “一看定义域、二算 $f(-x)$、三作差（或作商）判断”是奇偶性问题三步定型法。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷理-2