2015-福建卷文-08 单-几何概型

本题导读

考查几何概型。先用矩形条件确定 $C,D$ 两点坐标、算出矩形面积，再算阴影三角形面积，最后作比。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(文)） 如图，矩形 $ABCD$ 中，点 $A$ 在 $x$ 轴上，点 $B$ 的坐标为 $(1,0)$，且点 $C$ 与点 $D$ 在函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}x+1,& x⩾0,\\ -\frac{1}{2}x+1,& x<0\end{array}$ 的图象上. 若在矩形 $ABCD$ 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于 ()

A. $\frac{1}{6}$　　　　　　　B. $\frac{1}{4}$　　　　　　　C. $\frac{3}{8}$　　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

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1. $B(1,0)$ 且 $BC\perp x$ 轴 $\Rightarrow x_C=1\Rightarrow C(1,2)$。
2. 矩形对边等高 $\Rightarrow y_D=2$，代左段解析式得 $D(-2,2)$，从而 $A(-2,0)$。
3. 阴影是以 $DC$ 为底、折点 $(0,1)$ 到 $DC$ 距离为高的三角形。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

由 $B(1,0)$ 及矩形的性质知 $x_C=1$，代入 $x⩾0$ 段得 $y_C=1+1=2$，即 $C(1,2)$.

矩形中 $D$ 与 $C$ 等高，$y_D=2$，由 $x<0$ 段 $2=-\frac{1}{2}{x}_D+1$ 得 $x_D=-2$，即 $D(-2,2)$，$A(-2,0)$.

故矩形面积 $S_{矩形}=3\times 2=6$.

图象两段的连接点为 $f(0)=1$，即 $(0,1)$。阴影三角形以 $DC=3$ 为底，高为 $2-1=1$，面积 $S_{阴影}=\frac{1}{2}\times 3\times 1=\frac{3}{2}$.

由几何概型，所求概率 $P=\frac{3/2}{6}=\frac{1}{4}$，选 B.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：几何概型（面积型）；分段函数图象与矩形的几何性质。

2. 核心方法：先”定点”（用矩形条件反解坐标），再”算比”（阴影面积比矩形面积）。

3. 避坑指南：阴影三角形的第三个顶点是图象的折点 $(0,1)$，不是原点；底边取 $DC$ 而高是折点到 $DC$ 的竖直距离 $1$，不要误用 $2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：几何概型常与函数图象、线性规划等”图形背景”结合，福建卷 2015 理科同题号位置也考了概率。

2. 结论推广: 若把右段改为 $y=x+k$，则折点变为 $(0,k)$，概率随 $k$ 变化：$P=\frac{(2-k)\cdot 3/2}{3(2-k)}=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}$（当折点仍落在矩形内时恒为 $\frac{1}{4}$，因底高乘积不变的比例关系被消去）。

3. 方法推广: 几何概型三步：定区域（样本空间测度）、算阴影（事件测度）、作比值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2015-福建卷理-13 填-几何概型