2015-重庆卷文-13 填-解三角形

本题导读

本题考查解三角形，结合正弦定理化简边长比例，再由余弦定理计算未知边长 $c$。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(文)） 设 $△ABC$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$，且 $a=2,\cos C=-\frac{1}{4},3\sin A=2\sin B$，则 $c=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用正弦定理将 $3\sin A=2\sin B$ 转化为边长关系 $3a=2b$。
2. 代入 $a=2$，求得 $b=3$。
3. 利用余弦定理 $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 求解 $c$。

✅【答案】

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$4$

✍【详细解析】

Abstract

由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}$ 及已知 $3\sin A=2\sin B$，得： $3a=2b$ 因为 $a=2$，所以 $3\times 2=2b⟹b=3$。

由余弦定理得： $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$ 代入 $a=2,b=3,\cos C=-\frac{1}{4}$： $c^2=2^2+3^2-2\times 2\times 3\times \left(-\frac{1}{4}\right)=4+9+3=16$ 因为 $c>0$，所以 $c=4$。

故答案为：$4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理进行边角转换，余弦定理求第三边。
2. 核心方法：边角互化法。
3. 避坑指南：计算 $c^2$ 时注意 $\cos C$ 为负数，代入时符号要变为“+”。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自必修五解三角形章节的经典基本量计算题。
2. 结论推广：已知两边比例及夹角（或其中一边与第三角）求第三边是余弦定理的标准应用场景。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 11.02 余弦定理

类题演练(Links)

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• 2014-重庆卷理-10 单-和差公式与二倍角公式
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