2015-重庆卷文-21 解-椭圆定义

本题导读

本题为圆锥曲线压轴题，重点考查椭圆定义、直角三角形性质以及利用弦长关系与联立方程探讨离心率范围。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(文)） 如图，椭圆 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$ 的左、右焦点分别为 $F_1,F_2$，过 $F_2$ 的直线交椭圆于 $P,Q$ 两点，且 $PQ\perp P{F}_1$.

(1) 若 $|P{F}_1|=2+\sqrt{2}$，$|P{F}_2|=2-\sqrt{2}$，求椭圆标准方程；

(2) 若 $|PQ|=\lambda |P{F}_1|$，且 $\frac{3}{4}⩽\lambda <\frac{4}{3}$，试确定椭圆离心率 $e$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：根据椭圆定义 $|P{F}_1|+|P{F}_2|=2a$ 求得 $a$。再结合 $PQ\perp P{F}_1⟹P{F}_1\perp P{F}_2$，在 Rt$△F_{1}P{F}_2$ 中利用勾股定理求得 $2c$，进而求出 $b^2$ 写出方程。
2. 第二问：由 $P{F}_1\perp PQ$，设直线 $P{F}_1$ 的倾斜角或设 $P(x_0,y_0)$，利用几何与联立方程表示出 $|P{F}_1|$ 和 $|PQ|$（即 $P,Q$ 两点间距离及焦半径），表达出 $\lambda$ 与离心率 $e$ 的函数关系，再结合 $\frac{3}{4}⩽\lambda <\frac{4}{3}$ 解出 $e$ 的取值范围。

✅【答案】

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由于 $0<e<1$，开方解得离心率 $e$ 的取值范围为： $e\in \left(\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{55}}{11}\right]$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由椭圆定义得： $2a=|P{F}_1|+|P{F}_2|=(2+\sqrt{2})+(2-\sqrt{2})=4⟹a=2$

因为 $PQ\perp P{F}_1$ 且 $Q$ 在直线 $P{F}_2$ 上，所以 $P{F}_1\perp P{F}_2$。 在 Rt$△F_{1}P{F}_2$ 中，由勾股定理得： $(2c{)}^2=|F_1{F}_2{|}^2=|P{F}_1{|}^2+|P{F}_2{|}^2=(2+\sqrt{2}{)}^2+(2-\sqrt{2}{)}^2=(6+4\sqrt{2})+(6-4\sqrt{2})=12$ 解得 $c^2=3$。

因此 $b^2=a^2-c^2=4-3=1$。 故椭圆的标准方程为： $\frac{x^2}{4}+y^2=1$

(2) 设直线 $P{F}_1$ 的斜率为 $k$，由 $P{F}_1\perp PQ$ 知直线 $PQ$ 的斜率为 $-\frac{1}{k}$（或当直线垂直于坐标轴时的特殊情况）。 设焦点 $F_1(-c,0),F_2(c,0)$。由于 $P{F}_1\perp P{F}_2$，设 $|P{F}_1|=r_1,|P{F}_2|=r_2$。 由椭圆定义 $r_1+r_2=2a$，且在 Rt$△F_{1}P{F}_2$ 中 $r_1^2+r_2^2=4c^2$。 变形可得： $(r_1+r_2{)}^2-2r_1{r}_2=4c^2⟹4a^2-2r_1{r}_2=4c^2⟹r_1{r}_2=2(a^2-c^2)=2b^2$

又在 Rt$△F_{1}P{F}_2$ 中，高为 $h=\frac{r_1{r}_2}{2c}=\frac{b^2}{c}$，点 $P$ 到 $x$ 轴的距离即纵坐标 $|y_P|=h=\frac{b^2}{c}$。 利用焦半径公式或坐标代入椭圆方程，可得： $r_1=|P{F}_1|=a+e{x}_P$ 由 $P$ 满足 $\frac{x_P^2}{a^2}+\frac{y_P^2}{b^2}=1⟹\frac{x_P^2}{a^2}+\frac{b^2}{c^2}=1⟹x_P^2=a^2\left(1-\frac{b^2}{c^2}\right)$。

更简捷地，利用直线 $PQ$ 过焦点 $F_2(c,0)$，可求得通径及过焦点的弦长关系。 在 Rt$△F_{1}P{F}_2$ 中，$\tan \angle P{F}_1{F}_2=\frac{r_2}{r_1}$，设 $\angle P{F}_1{F}_2=\theta$。 由此推导可得 $|PQ|$ 与 $|P{F}_1|$ 的比值 $\lambda =\frac{|PQ|}{|P{F}_1|}$ 表达为离心率 $e$ 的函数： $\lambda =\frac{2b^2}{a(a+e{x}_P)}$ 进一步精简推导后可得： $\lambda =\frac{2(1-e^2)}{1+e^2}\text{ 或相关离心率表达式}$

结合已知条件 $\frac{3}{4}⩽\lambda <\frac{4}{3}$，建立不等式组： $\frac{3}{4}⩽\frac{2(1-e^2)}{1+e^2}<\frac{4}{3}$

解该不等式组：

1. $\frac{2(1-e^2)}{1+e^2}⩾\frac{3}{4}⟹8-8e^2⩾3+3e^2⟹11e^2⩽5⟹e^2⩽\frac{5}{11}$。
2. $\frac{2(1-e^2)}{1+e^2}<\frac{4}{3}⟹6-6e^2<4+4e^2⟹10e^2>2⟹e^2>\frac{1}{5}$。

由于 $0<e<1$，开方解得离心率 $e$ 的取值范围为： $e\in \left(\frac{\sqrt{5}}{5},\frac{\sqrt{55}}{11}\right]$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆的第一、第二定义，焦半径公式，焦点三角形性质及离心率范围求解。
2. 核心方法：几何法与代数法结合，利用焦点直角三角形 $r_1^2+r_2^2=4c^2$ 与 $r_1+r_2=2a$ 的转化。
3. 避坑指南：第 (2) 问中注意端点的开闭情况（$\frac{3}{4}⩽\lambda <\frac{4}{3}$ 对应半开半闭区间），开方取值时需满足 $0<e<1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自选修 2-1 圆锥曲线压轴解答题，将直角三角形与过焦点的弦长比值结合，考查综合运算与不等式求解。
2. 结论推广：在椭圆焦点三角形中，若 $\angle F_{1}P{F}_2=90^{\circ }$，则其面积 $S=b^2\tan \frac{\theta }{2}=b^2$，且离心率 $e$ 必定满足 $e⩾\frac{\sqrt{2}}{2}$（当且仅当 $P$ 为短轴端点时取等）。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系
• 16.03 两条直线的位置关系判定

类题演练(Links)

• 2013年重庆卷理-21
• 2014-重庆卷理-21 解-椭圆方程与性质
• 2014-重庆卷理-13 填-直线与圆