2015-陕西卷文-16 填-归纳规律

本题导读

第 $n$ 个等式：$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}$。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(文)） 观察下列等式：

$1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$，

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\frac{1}{5}-\frac{1}{6}=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}$，

$\cdots \cdots$，

据此规律，第 $n$ 个等式可为 $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

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第 $n$ 个等式：$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}$。

✅【答案】

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$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}$

✍【详细解析】

Abstract

观察：第 1 个等式左边到 $-\frac{1}{2}$（分母 $2\times 1$），右边是 $\frac{1}{2}$ 一项；第 2 个等式左边到 $-\frac{1}{4}$，右边是 $\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$；第 3 个等式左边到 $-\frac{1}{6}$，右边是 $\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}$。

规律：第 $n$ 个等式左边为正负交替、分母从 1 到 $2n$ 共 $2n$ 项；右边为分母从 $n+1$ 到 $2n$ 共 $n$ 项之和。

故第 $n$ 个等式为

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+\cdots +\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\cdots +\frac{1}{2n}$。

（可用 $\sum _{j=1}^{2n}\frac{1}{j}-2\sum _{j=1}^n\frac{1}{2j}=\sum _{j=n+1}^{2n}\frac{1}{j}$ 验证。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：归纳推理（合情推理）；正负交替调和级数的结构

核心方法：“盯住首几个等式的起止项，翻译成关于 $n$ 的通式”

避坑指南：①左端的末项是 $-\frac{1}{2n}$（负项收尾），右端从 $\frac{1}{n+1}$ 起共 $n$ 项——起止分母都由前三个等式归纳得出，只盯第一行会写错范围；②结论是合情推理所得，$n=1,2$ 代回验算是良好习惯。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数学归纳推理的文化类填空（doc 考点定位：归纳推理），2015 陕西卷的标志性”找规律”题，源自著名的交替调和级数恒等式。

结论推广：一般地，$\sum _{j=1}^{2n}\left(\frac{1}{2j-1}-\frac{1}{2j}\right)=\sum _{j=n+1}^{2n}\frac{1}{j}$；其极限为 $\ln 2$（供延伸阅读）。

方法推广：规律发现题三步：给每个等式编号 → 列出”随编号变化”的量（首项、末项、项数）→ 写通式并代小 $n$ 验证。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练(Links)

• 2009-陕西卷理-16
• 2015-陕西卷理-8
• 2014-陕西卷理-14 填-归纳推理