2015-陕西卷文-20 解-椭圆定值

本题导读

$b=1$、$a^2=2$ 得 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$；$PQ:y=kx+1-k$ 代入椭圆，韦达给 $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{2(1-k)}{2-k}$，$k_{AP}+k_{AQ}=2k+(2-k)\cdot \frac{2(1-k)}{2-k}=2$。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(文)） 如图，椭圆 $E:\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（$a>b>0$）经过点 $A(0,-1)$，且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$.

(1) 求椭圆 $E$ 的方程；

(2) 经过点 $(1,1)$，且斜率为 $k$ 的直线与椭圆 $E$ 交于不同的两点 $P$，$Q$（均异于点 $A$），证明：直线 $AP$ 与 $AQ$ 的斜率之和为 2.

🔍【思路分析】

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$b=1$、$a^2=2$ 得 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$；$PQ:y=kx+1-k$ 代入椭圆，韦达给 $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{2(1-k)}{2-k}$，$k_{AP}+k_{AQ}=2k+(2-k)\cdot \frac{2(1-k)}{2-k}=2$。

✅【答案】

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(1) $\frac{x^2}{2}+y^2=1$

(2) 证明见解析（$k_{AP}+k_{AQ}=2$）

✍【详细解析】

Abstract

(1) 点 $A(0,-1)$ 在椭圆上，得 $\frac{1}{b^2}=1$，$b=1$。又 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$c^2=a^2-b^2$，故 $\frac{a^2-1}{a^2}=\frac{1}{2}$，解得 $a^2=2$。

椭圆 $E$ 的方程为 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$。

(2) 设直线 $PQ$ 的方程为 $y=kx+1-k$（过点 $(1,1)$）。代入椭圆方程：

$\frac{x^2}{2}+(kx+1-k{)}^2=1$，整理得

$\left(k^2+\frac{1}{2}\right)x^2+2k(1-k)x+k(k-2)=0$。

设 $P$、$Q$ 的横坐标为 $x_1$，$x_2$。因 $P$，$Q$ 均异于 $A$ 且两点不同，故 $x_1{x}_2\ne 0$。由韦达定理：

$\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1{x}_2}=\frac{-2k(1-k)}{k(k-2)}=\frac{2(1-k)}{2-k}$。

直线 $AP$、$AQ$ 的斜率分别为

$k_{AP}=\frac{k{x}_1+1-k+1}{x_1}=k+\frac{2-k}{x_1}$，$k_{AQ}=k+\frac{2-k}{x_2}$。

于是

$k_{AP}+k_{AQ}=2k+(2-k)\left(\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}\right)=2k+(2-k)\cdot \frac{2(1-k)}{2-k}=2k+2(1-k)=2$。

故直线 $AP$ 与 $AQ$ 的斜率之和为 2。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆的标准方程；直线与椭圆联立；韦达定理；斜率定值证明

核心方法：“过定点直线设式 → 联立韦达 → $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}$ 搭桥”

避坑指南：①$P$，$Q$ 异于 $A$ 保证 $x_1{x}_2\ne 0$（否则斜率不存在），这既是条件的用处也是韦达式除法的合法性依据；②联立后二次项系数是 $k^2+\frac{1}{2}$ 恒正，无需讨论 $k$；③分子中 $1-k+1=2-k$ 的”+1”来自 $A$ 的纵坐标 $-1$ 取负，符号别错。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：“顶点处引双直线、斜率和为定值”是圆锥曲线定值问题的经典构型（doc 考点定位：椭圆的标准方程、圆锥曲线的定值问题），陕西卷将其作为文卷压轴而不设计算障碍，突出”设而不求”思想。

结论推广：一般地，过 $(1,1)$ 的直线与 $\frac{x^2}{2}+y^2=1$ 相交时，$k_{AP}+k_{AQ}=2$ 与 $k$ 无关；推广：过 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 短轴端点的”斜率和定值”由端点纵坐标决定。

方法推广：定值证明三板斧：设直线含参 → 联立得韦达两式 → 把目标量（斜率和/积）用韦达整体代换代简，参数消去即定值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略

类题演练(Links)

• 2015-陕西卷理-20 解-椭圆性质
• 2014-陕西卷理-20 解-椭圆定义与性质
• 2013年陕西卷理-20