2015-陕西卷理-16 填-抛物线性质

本题导读

本题是立体几何背景下的平面几何与定积分综合应用题。通过建立直角坐标系，将水渠横截面的物理模型转化为几何图形的面积计算，考查了梯形面积公式及定积分求曲边梯形面积的方法。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(理)） 如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示），则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 理解物理量转化：最大流量与水渠横截面的面积成正比，因此本题求的是等腰梯形的面积与抛物线下方剩余开口面积的比值。
2. 计算原始面积（梯形）：利用等腰梯形的高和角度信息，求出下底长，套用面积公式。
3. 计算当前面积（定积分）：
   • 建立直角坐标系，设抛物线方程为 $x^2=2py$。
   • 利用抛物线经过梯形上底端点的坐标求出方程。
   • 利用定积分 ${\int }_a^b(f(x)-g(x))dx$ 计算直线（上底线）与抛物线围成的面积。
4. 求比值：将两个面积值相除化简。

✅【答案】

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1.2

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算原始等腰梯形的面积 $S_1$

由图可知，等腰梯形的上底 $a=10\text{m}$，高 $h=2\text{m}$，腰与水平面夹角为 $45^{\circ }$。 则梯形下底 $b=a-2\times (h\cot 45^{\circ })=10-2\times (2\times 1)=6\text{m}$。 $S_1=\frac{1}{2}(a+b)h=\frac{1}{2}(10+6)\times 2=16$

第二步：建立坐标系求抛物线方程 以抛物线的顶点为原点 $O$，水渠对称轴为 $y$ 轴建立平面直角坐标系。 设抛物线方程为 $x^2=2py(p>0)$。 由图可知，当水深最大时（$y=2$），水面宽度为 $10$。 则抛物线经过点 $(5,2)$。 代入方程：$5^2=2p\times 2⟹2p=\frac{25}{2}$。 所以抛物线方程为 $x^2=\frac{25}{2}y$，即 $y=\frac{2}{25}{x}^2$。

第三步：计算当前开口面积 $S_2$ 当前开口面积即为直线 $y=2$ 与抛物线 $y=\frac{2}{25}{x}^2$ 在 $x\in [-5,5]$ 区间内围成的面积。 $S_2={\int }_{-5}^5(2-\frac{2}{25}{x}^2)dx$ 根据偶函数对称性： $S_2=2{\int }_0^5(2-\frac{2}{25}{x}^2)dx=2{\left[2x-\frac{2}{75}{x}^3\right]}_0^5$ $S_2=2\left(10-\frac{2}{75}\times 125\right)=2\left(10-\frac{10}{3}\right)=2\times \frac{20}{3}=\frac{40}{3}$

第四步：计算比值 $\text{比值}=\frac{S_1}{S_2}=\frac{16}{\frac{40}{3}}=\frac{16\times 3}{40}=\frac{48}{40}=1.2$

答案：1.2

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：定积分的几何意义（求曲边梯形面积）；建立坐标系处理解析几何问题。
• 核心方法：数形结合法。将物理模型坐标化是解决此类应用题的首要步骤。
• 避坑指南：
  1. 注意下底长度的计算，不要直接代入上底 $10$。
  2. 计算定积分时，注意积分上限和下限的选择，以及积分函数的准确性（上方曲线减去下方曲线）。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 抛物线型拱桥或水渠的面积通常是其对应外接矩形面积的 $\frac{2}{3}$（阿基米德引理）。验证：矩形面积为 $10\times 2=20$，$20\times \frac{2}{3}=\frac{40}{3}$，符合本题结果。 *方法推广: 遇到求不规则图形面积的比值，优先考虑建立坐标系并使用积分工具。

• 相关知识点：牛顿-莱布尼茨公式、等腰梯形的性质。

🔗【关联脉络】

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类题演练(Links)

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