2016-上海卷文-10 填-解三角形

本题导读

本题考查余弦定理的应用、正弦定理与三角形的外接圆半径，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(文)） 已知 $△ABC$ 的三边长分别为 $3,5,7$，则该三角形的外接圆半径等于$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $△ABC$ 的三边分别为 $a=3,b=5,c=7$，利用余弦定理求出最大角（例如角 $C$）的余弦值 $\cos C$。
2. 利用同角三角函数关系 ${\sin }^{2}C+{\cos }^{2}C=1$ 求出 $\sin C$。
3. 利用正弦定理 $\frac{c}{\sin C}=2R$ 求出外接圆半径 $R$。

✅【答案】

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$\frac{7\sqrt{3}}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

设 $△ABC$ 的三边长分别为 $a=3,b=5,c=7$。 根据三角形大边对大角，边长为 7 的对角 $C$ 最大。 由余弦定理： $\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}=\frac{3^2+5^2-7^2}{2\times 3\times 5}=\frac{9+25-49}{30}=\frac{-15}{30}=-\frac{1}{2}$。 因为 $C$ 为三角形内角，所以： $\sin C=\sqrt{1-{\cos }^{2}C}=\sqrt{1-{\left(-\frac{1}{2}\right)}^2}=\sqrt{1-\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$。 根据正弦定理： $\frac{c}{\sin C}=2R⟹2R=\frac{7}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{14}{\sqrt{3}}$， 解得外接圆半径： $R=\frac{7}{\sqrt{3}}=\frac{7\sqrt{3}}{3}$。 故答案为 $\frac{7\sqrt{3}}{3}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理、正弦定理、外接圆半径公式 $\frac{a}{\sin A}=2R$。
2. 核心方法：余弦定理定角、正弦定理定半径。
3. 避坑指南：通常选择三角形的最大边求其次对角，其余弦值为负数时，正弦值直接取正根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：解三角形中的经典综合题。
2. 结论推广：已知三边求外接圆半径的标准流程为：余弦定理 $\to$ 正弦值 $\to$ 正弦定理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-11 填-正弦函数
• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数

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