2016-全国卷I理-02 单-复数

本题导读

本题考查复数相等、复数的模长计算，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷I(理)） 设 $(1+i)x=1+yi$，其中 $x,y$ 是实数，则 $|x+yi|=$ ()

A. $1$　　　　　　　B. $\sqrt{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{3}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用复数相等：展开左侧式子得到 $x+xi$。根据复数相等定理，对应实部和虚部分别相等，建立方程组求出 $x$ 和 $y$。
2. 计算模长：将求得的 $x,y$ 代入 $|x+yi|$，利用复数模长公式 $|a+bi|=\sqrt{a^2+b^2}$ 进行计算。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 求 $x,y$ 的值： 由 $(1+i)x=1+yi$ 得 $x+xi=1+yi$。 由于 $x,y\in \mathbb{R}$，根据复数相等的定义： $\{\begin{array}{l}x=1\\ x=y\end{array}$ 解得 $x=1,y=1$。

2. 计算模长： 将 $x=1,y=1$ 代入待求式： $|x+yi|=|1+i|$ 根据模长公式：$|1+i|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心定义：复数相等的判定必须满足“实部等于实部”且“虚部等于虚部”，前提是系数均为实数。
• 公式记忆：复数的模 $|z|$ 的几何意义是复平面上点到原点的距离。
• 此类题目属于高考中的送分题，计算极其简单，但需注意符号，不要将虚部 $y$ 误带入包含 $i$ 的运算中。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若题目改为求共轭复数 $\overline{x+yi}$，结果为 $1-i$。
2. 知识关联：复数的模长运算在后续处理复数方程、旋转变换等复杂问题中是基础工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-05 填-复数
• 2017-全国卷III文-02 单-复数
• 2017-全国卷III理-02 单-复数

专题合集 (Series)