2017-全国卷III理-02 单-复数

本题导读

本题考查复数的除法运算，以及复数的模长公式。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷III(理)） 设复数 $z$ 满足 $(1+\text{i})z=2\text{i}$，则 $|z|=$ ()

A. $\frac{1}{2}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 常规解法（化简法）：

• 将方程变形为 $z=\frac{2\text{i}}{1+\text{i}}$。
• 利用复数除法（分母实数化），求出 $z$ 的代数形式 $a+b\text{i}$。
• 代入模长公式 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ 计算。

2. 快速解法（模长性质法）：

• 利用性质：$|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$。
• 对等式 $(1+\text{i})z=2\text{i}$ 两边同时取模。
• 直接求出 $|1+\text{i}|$ 和 $|2\text{i}|$，即可解得 $|z|$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解法一：代数运算法 由 $(1+\text{i})z=2\text{i}$ 得： $z=\frac{2\text{i}}{1+\text{i}}$ 分母实数化，上下同乘 $1-\text{i}$： $z=\frac{2\text{i}(1-\text{i})}{(1+\text{i})(1-\text{i})}=\frac{2\text{i}-2{\text{i}}^2}{1^2-{\text{i}}^2}=\frac{2\text{i}+2}{2}=1+\text{i}$ 所以 $|z|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。

解法二：模长性质法（推荐） 对等式 $(1+\text{i})z=2\text{i}$ 两边同时取模得： $|1+\text{i}|\cdot |z|=|2\text{i}|$ 计算各项模长： $|1+\text{i}|=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$ $|2\text{i}|=\sqrt{0^2+2^2}=2$ 代入等式： $\sqrt{2}\cdot |z|=2\Rightarrow |z|=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 运算准确性：复数除法中，${\text{i}}^2=-1$ 是最容易出错的点。
• 解题效率：在选择题中，利用模的性质（乘除法保持模的运算规律）通常比直接化简复数要快得多，且出错率低。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 复数模的常用性质：

• $|z_1\cdot z_2|=|z_1|\cdot |z_2|$
• $\left|\frac{z_1}{z_2}\right|=\frac{|z_1|}{|z_2|}$
• $|z^n|=|z{|}^n$
• $|\bar{z}|=|z|$

2. 几何意义： 复数 $z=1+\text{i}$ 在复平面内对应点 $(1,1)$。$|z|$ 的几何意义就是该点到原点的距离。由于该点与原点构成的直角三角形两直角边均为 1，斜边自然为 $\sqrt{2}$。

3. 变式思考： 如果题目改为求 $z^2$，直接利用解法一求得的 $z=1+\text{i}$ 进行平方即可：$(1+\text{i}{)}^2=1+2\text{i}+{\text{i}}^2=2\text{i}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-湖北卷文-02 单-复数
• 2014-湖南卷文-11 填-复数
• 2014-福建卷文-02 单-复数