2016-全国卷II理-01 单-复数

本题导读

本题考查复数的代数表示法及其几何意义、复平面内点与象限的关系，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(理)） 已知 $z=(m+3)+(m-1)i$ 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 $m$ 的取值范围是 ()

A. $(-3,1)$ B. $(-1,3)$ C. $(1,+\infty )$ D. $(-\infty ,-3)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 复数的几何意义：复数 $z=a+bi$ ($a,b\in \mathbb{R}$) 在复平面内对应的点坐标为 $(a,b)$。

2. 确定象限特征：第四象限的点满足横坐标大于 $0$（实部 $>0$），纵坐标小于 $0$（虚部 $<0$）。

3. 建立不等式组：由 $z$ 的实部 $m+3$ 和虚部 $m-1$ 列出不等式组并求解。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 转化坐标： 复数 $z=(m+3)+(m-1)i$ 在复平面内对应的点为 $P(m+3,m-1)$。
2. 根据象限列式： 因为点 $P$ 在第四象限， 所以需满足： $\{\begin{array}{l}m+3>0\\ m-1<0\end{array}$
3. 求解范围： 由 $m+3>0$ 得 $m>-3$； 由 $m-1<0$ 得 $m<1$。 综上所述，$-3<m<1$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 各象限正负符号记忆口诀：一全正，二实负虚正，三全负，四实正虚负。
• 易错提醒：若题目说在“轴上”，则对应的实部或虚部应等于 $0$。象限内部不包含坐标轴，所以必须是严格大于或小于。
• 此类题属于高考卷的开篇送分题，只要分清实部和虚部，注意不等号方向即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若 $z$ 对应的点在第三象限，则 $\{\begin{array}{l}m+3<0\\ m-1<0\end{array}$，得 $m<-3$（对应选项 D）——象限变了，不等式组跟着变，方法不变。
2. 知识关联：复数几何化是复平面的基本功：实部定横坐标、虚部定纵坐标；与纯虚数（实部为 0）、轴上点（某一分量为 0）一起构成分类讨论的完整图景。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-05 填-复数
• 2017-全国卷III文-02 单-复数
• 2017-全国卷III理-02 单-复数

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