2016-全国卷II理-02 单-集合

本题导读

本题考查集合的并集运算、一元二次不等式的解法，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(理)） 已知集合 $A=\{1,2,3\}$，$B=\{x\mid (x+1)(x-2)<0,x\in \mathbb{Z}\}$，则 $A\cup B$ 等于 ()

A. $\{1\}$　　　B. $\{1,2\}$　　　C. $\{0,1,2,3\}$　　　D. $\{-1,0,1,2,3\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定集合 A：已知 $A=\{1,2,3\}$。
2. 解集合 B：

• 首先解不等式 $(x+1)(x-2)<0$。这是一个开口向上的抛物线，小于 0 的部分在两根之间，即 $-1<x<2$。
• 注意约束条件 $x\in \mathbb{Z}$，在该范围内的整数有 $0,1$。
• 故 $B=\{0,1\}$。

3. 求并集：根据 $A\cup B$ 的定义，将 $A$ 与 $B$ 的所有元素合并并去重。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 化简集合 B： 由 $(x+1)(x-2)<0$ 得 $-1<x<2$。 又因为 $x\in \mathbb{Z}$， 所以 $x$ 可以取 $0,1$。 即 $B=\{0,1\}$。
2. 计算 $A\cup B$： 因为 $A=\{1,2,3\}$，$B=\{0,1\}$， 所以 $A\cup B=\{0,1,2,3\}$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 并集定义：$A\cup B=\{x\mid x\in A\text{ 或 }x\in B\}$。
• 易错点：

• 忽视 $x\in \mathbb{Z}$ 这一条件，导致无法列举元素。
• 在求并集时漏掉元素或错误地求成了交集（$A\cap B=\{1\}$）。

• 此类集合题通常是“不等式/函数”+“集合运算”的组合，解题的第一步永远是把抽象的集合描述化为具体的元素列举。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若把 $A\cup B$ 改为 $A\cap B$，则 $\{1,2,3\}\cap \{0,1\}=\{1\}$（对应选项 A）——并集与交集一字之差，答案迥异，审题第一。
2. 知识关联：“解不等式定集合 + 整数条件筛元素”是集合题的标准流程；开篇集合题的得分底线就是准确区分并、交与代表元素的范围。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-01 填-集合
• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-全国卷III文-01 单-集合

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