2016-全国卷II理-21 解-导数

本题导读

本题考查导数的综合应用、利用导数研究函数的单调性。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年全国卷II(理)） (1)讨论函数 $f(x)=\frac{x-2}{x+2}{e}^x$ 的单调性，并证明：当 $x>0$ 时，$(x-2)e^x+x+2>0$；

(2)证明：当 $a\in [0,1)$ 时，函数 $g(x)=\frac{e^x-ax-a}{x^2}$ ($x>0$) 有最小值.设 $g(x)$ 的最小值为 $h(a)$，求函数 $h(a)$ 的值域.

🔍【思路分析】

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1. 第一问思路：

• 单调性：求导 $f^{\prime }(x)$，通过导数的符号确定单调区间。注意分母 $x\ne -2$。
• 不等式：将待证式变形为 $\frac{x-2}{x+2}{e}^x>-1$。利用已求得的单调性，寻找 $f(x)$ 在 $x>0$ 时的最小值（或下界）。

2. 第二问思路：

• 最小值存在性：对 $g(x)$ 求导，导数分子涉及第一问中的结构。通过零点存在性定理证明 $g^{\prime }(x)=0$ 在 $(0,+\infty )$ 上有唯一解。
• 转化 $h(a)$：设 $g^{\prime }(t)=0$，得到 $a$ 与 $t$ 的关系式。将 $h(a)=g(t)$ 表示为仅含 $t$ 的函数。
• 值域求解：根据 $a$ 的取值范围确定 $t$ 的范围，进而通过新函数的单调性求出 $h(a)$ 的值域。

✅【答案】

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✍【详细解析】

Abstract

解：

(1)

1. 求导及讨论单调性： $f(x)$ 的定义域为 $\{x\mid x\ne -2\}$。 $f^{\prime }(x)=\frac{(1\cdot e^x+(x-2)e^x)(x+2)-(x-2)e^x\cdot 1}{(x+2{)}^2}=\frac{x^2{e}^x}{(x+2{)}^2}$。 因为当 $x\ne -2$ 且 $x\ne 0$ 时，$f^{\prime }(x)>0$，且 $f^{\prime }(0)=0$。 所以 $f(x)$ 在 $(-\infty ,-2)$ 和 $(-2,+\infty )$ 上均为单调递增。
2. 证明不等式： 由 $f(x)$ 在 $(-2,+\infty )$ 上递增，当 $x>0$ 时，$f(x)>f(0)=\frac{0-2}{0+2}{e}^0=-1$。 即 $\frac{x-2}{x+2}{e}^x>-1$。 由于 $x>0$ 时 $x+2>0$，移项得 $(x-2)e^x>-(x+2)$，即 $(x-2)e^x+x+2>0$。

(2)

1. 证明最小值存在性： $g^{\prime }(x)=\frac{(e^x-a)x^2-2x(e^x-ax-a)}{x^4}=\frac{x(e^x-a)-2(e^x-ax-a)}{x^3}=\frac{(x-2)e^x+ax+2a}{x^3}$。 记分子为 $\varphi (x)=(x-2)e^x+a(x+2)$。 由(1)知，当 $a=1$ 时，$\varphi (x)=(x-2)e^x+x+2>0$ 对 $x>0$ 恒成立。 由于 $a\in [0,1)$，需进一步讨论。 ${\varphi }^{\prime }(x)=e^x+(x-2)e^x+a=(x-1)e^x+a$。 令 $\psi (x)={\varphi }^{\prime }(x)$，${\psi }^{\prime }(x)=x{e}^x>0$ ($x>0$)，故 ${\varphi }^{\prime }(x)$ 递增。 ${\varphi }^{\prime }(0)=a-1<0$，${\varphi }^{\prime }(2)=e^2+a>0$，故 ${\varphi }^{\prime }(x)$ 有唯一零点，$\varphi (x)$ 先减后增。 又 $\varphi (0)=0$，当 $x\to 0^{+}$ 时 $\varphi (x)<0$；而 $x$ 足够大时 $\varphi (x)>0$。 故 $\varphi (x)=0$ 在 $(0,+\infty )$ 上有唯一根 $t$，且 $g(x)$ 在 $(0,t)$ 减，$(t,+\infty )$ 增。 所以 $g(x)$ 有最小值 $g(t)=h(a)$。

2. 求解 $h(a)$ 的值域： 由 $g^{\prime }(t)=0$ 得 $(t-2)e^t+a(t+2)=0$，即 $a=-\frac{t-2}{t+2}{e}^t=-f(t)$。 由(1)知 $f(t)$ 在 $(0,2]$ 上从 $-1$ 增至 $0$，则 $a=-f(t)\in [0,1)$ 对应 $t\in (0,2]$。 将 $a=\frac{(2-t)e^t}{t+2}$ 代入 $h(a)=g(t)=\frac{e^t-a(t+1)}{t^2}$： $h(a)=\frac{e^t-\frac{(2-t)e^t}{t+2}(t+1)}{t^2}=\frac{e^t}{t^2}\left[1-\frac{(2-t)(t+1)}{t+2}\right]=\frac{e^t}{t^2}\cdot \frac{t+2-(t+2-t^2-t+2)}{t+2}$ 化简得 $h(a)=\frac{e^t}{t+2}$。 记 $k(t)=\frac{e^t}{t+2}$，$t\in (0,2]$。 $k^{\prime }(t)=\frac{e^t(t+2)-e^t}{(t+2{)}^2}=\frac{e^t(t+1)}{(t+2{)}^2}>0$，故 $k(t)$ 单调递增。 当 $t\to 0$ 时，$k(t)\to \frac{1}{2}$；当 $t=2$ 时，$k(2)=\frac{e^2}{4}$。 所以 $h(a)$ 的值域为 $(\frac{1}{2},\frac{e^2}{4}]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 隐零点代换：本题最难点在于 $h(a)$ 的表达式化简。通过 $g^{\prime }(t)=0$ 建立 $a$ 与 $t$ 的等量关系，并灵活代换掉 $h(a)$ 中的 $a$，是处理导数压轴题的必备技能。

• 结构关联：第一问的 $f(x)$ 恰好是第二问导数分子的核心组成部分，这种“环环相扣”的设计提醒考生：前一问的结论往往是后一问的阶梯。

• 范围界定：利用 $a\in [0,1)$ 反推 $t\in (0,2]$ 是确定值域边界的前提，不可遗漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：第(1)问的关键一步：$f^{\prime }(x)=\frac{e^x\cdot x^2}{(x+2{)}^2}\ge 0$（分子化简后恰为 $x^2$），故 $f$ 在 $(0,+\infty )$ 上递增，$f(x)>f(0)=-1$，去分母即得 $(x-2)e^x+x+2>0$——“导数分子恰为平方”是命题人埋好的台阶。
2. 知识关联：第(2)问对 $a\in [0,1)$ 分类后利用“隐零点”$g^{\prime }(t)=0$ 建立 $a$ 与 $t$ 的等量关系代换化简 $h(a)$，是隐零点法的经典范本；第一问的 $f(x)$ 正是第二问导数分子的核心结构，前问为后问铺路。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-上海卷-08 填-奇函数
• 2017-上海卷-09 填-幂函数

专题合集 (Series)