2016-北京卷文-13 填-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理、三角形边角关系，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(文)） 在 $△ABC$ 中，$\angle A=\frac{2\pi }{3}$，$a=\sqrt{3}c$，则 $\frac{b}{c}=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 已知角 $A$ 和边长关系，可尝试使用余弦定理或正弦定理。
2. 利用正弦定理将边化为角，或利用余弦定理列出关于 $b,c$ 的方程。

✅【答案】

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$1$

✍【详细解析】

Abstract

方法一（余弦定理）： 在 $△ABC$ 中，由余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$， 代入 $\angle A=\frac{2\pi }{3}$（$\cos \frac{2\pi }{3}=-\frac{1}{2}$）及 $a=\sqrt{3}c$ 得： $(\sqrt{3}c{)}^2=b^2+c^2-2bc\left(-\frac{1}{2}\right)$， $3c^2=b^2+c^2+bc$， 整理得 $b^2+bc-2c^2=0$。 由于 $c>0$，方程两边同除以 $c^2$ 得： ${\left(\frac{b}{c}\right)}^2+\frac{b}{c}-2=0$， 解得 $\frac{b}{c}=1$ 或 $\frac{b}{c}=-2$（舍去）。 故 $\frac{b}{c}=1$。 故答案为 $1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正弦定理、余弦定理的应用。
2. 核心方法：构造关于边长比值的二次方程求解。
3. 避坑指南：解出二次方程后要结合边长为正数舍去不合题意的根。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：解三角形的常规计算题。
2. 结论推广：三角形中边长比例关系的求解常用正、余弦定理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-11 填-正弦函数
• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数

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