2016-北京卷理-09 填-复数

本题导读

本题考查复数的乘法运算、复数的几何意义，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(理)） 设 $a\in \mathbb{R}$，若复数 $(1+i)(a+i)$ 在复平面内对应的点位于实轴上，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 复数代数运算：将给定的复数乘积 $(1+i)(a+i)$ 展开并整理成 $A+Bi$ 的形式。
2. 理解几何意义：复数 $z=A+Bi$ 在复平面内对应的点坐标为 $(A,B)$。

• 若点在实轴上，则纵坐标 $B=0$（即虚部为 0）。
• 若点在虚轴上，则横坐标 $A=0$（即实部为 0）。

3. 建立方程：令展开式中的虚部等于 0，解出 $a$ 的值。

✅【答案】

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$-1$

✍【详细解析】

Abstract

解： 首先进行复数乘法运算： $(1+i)(a+i)=a+i+ai+i^2$ 因为 $i^2=-1$，所以： $(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i$

由题意可知，该复数在复平面内对应的点位于实轴上， 根据复数的几何意义，这意味着该复数的虚部必须为 $0$。 即：$a+1=0$ 解得：$a=-1$。

故答案为 $-1$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 虚部与实部的区分：在 $A+Bi$ 中，$B$ 称为虚部（注意虚部不带 $i$），$A$ 称为实部。
• 复平面对应关系：

• 实轴 $⟺$ 虚部为 0 $⟺$ 该复数为实数。
• 虚轴 $⟺$ 实部为 0 $⟺$ 该复数为纯虚数（当虚部不为 0 时）。

• 此类填空题作为北京卷填空部分的起始题，难度极低，核心是细心。计算展开时不要漏掉 $i^2=-1$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若题目改为“对应点位于虚轴上”，则 $a$ 应为多少？（令实部 $a-1=0⟹a=1$）。
2. 知识关联：复数的四则运算和几何意义是高考必考的“送分点”，通常出现在前两道选择或填空。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-05 填-复数
• 2017-全国卷III文-02 单-复数
• 2017-全国卷III理-02 单-复数

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