2016-北京卷理-16 解-古典概型

本题导读

本题考查分层抽样、古典概型及其概率计算公式。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年北京卷(理)） A，B，C 三个班共有 100 名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表（单位：小时）：

班级	锻炼时间数据
A 班	6, 6.5, 7, 7.5, 8
B 班	6, 7, 8, 9, 10, 11, 12
C 班	3, 4.5, 6, 7.5, 9, 10.5, 12, 13.5

(1)试估计 C 班的学生人数；

(2)从 A 班和 C 班抽出的学生中，各随机选取一人，A 班选出的人记为甲，C 班选出的人记为乙.假设所有学生的锻炼时间相对独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率；

(3)再从 A，B，C 三班中各随机抽取一名学生，他们该周锻炼时间分别是 7，9，8.25（单位：小时），这 3 个新数据与表格中的数据构成的新样本的平均数记为 ${\mu }_1$，表格中数据的平均数记为 ${\mu }_0$，试判断 ${\mu }_0$ 和 ${\mu }_1$ 的大小.（结论不要求证明）

🔍【思路分析】

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1. 第一问（分层抽样）：算出样本总人数 $n$，根据总体人数 100 算出抽样比 $k=n/100$。C 班样本人数除以 $k$ 即为 C 班总人数。
2. 第二问（古典概型）：

• A 班样本 $n_A=5$，C 班样本 $n_C=8$，总基本事件数 $N=5\times 8=40$。
• 采用枚举法，列出所有满足“甲 > 乙”的组合并计数。

3. 第三问（平均数比较）：

• 计算原样本平均数 ${\mu }_0$。
• 计算 3 个新数据的平均数 ${\bar{x}}_{new}$。
• 若 ${\bar{x}}_{new}<{\mu }_0$，则新样本平均数 ${\mu }_1$ 必小于 ${\mu }_0$。

✅【答案】

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$（1）40.（2）38.$

✍【详细解析】

Abstract

解：

(1)由题意得，样本中 A 班有 5 人，B 班有 7 人，C 班有 8 人， 样本总人数 $n=5+7+8=20$。 抽样比 $k=\frac{20}{100}=\frac{1}{5}$。 故估计 C 班学生人数为 $8÷\frac{1}{5}=40$ 人。

(2)从 A 班和 C 班样本中各随机抽取一人，共有 $5\times 8=40$ 种等可能情况。 记甲的锻炼时间为 $x$，乙的锻炼时间为 $y$。满足 $x>y$ 的情况枚举如下：

• 当 $x=6$ 时，$y$ 可取 $3,4.5$（2 种）；
• 当 $x=6.5$ 时，$y$ 可取 $3,4.5,6$（3 种）；
• 当 $x=7$ 时，$y$ 可取 $3,4.5,6$（3 种）；
• 当 $x=7.5$ 时，$y$ 可取 $3,4.5,6$（3 种）；
• 当 $x=8$ 时，$y$ 可取 $3,4.5,6,7.5$（4 种）。 满足条件的事件数 $m=2+3+3+3+4=15$。 故甲的锻炼时间比乙长的概率 $P=\frac{15}{40}=\frac{3}{8}$。

(3)结论：${\mu }_0>{\mu }_1$。 解析辅助说明： 表中原始 20 个数据的和为 $35+63+66=164$，则 ${\mu }_0=\frac{164}{20}=8.2$。 新增 3 个数据的和为 $7+9+8.25=24.25$，其平均值为 $\frac{24.25}{3}\approx 8.083$。 因为新增数据的平均值小于原样本平均值，所以加入新数据后，平均数被“拉低”，即 ${\mu }_1<{\mu }_0$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 枚举的准确性：概率大题中最核心的是不重不漏。本题数据量较小，枚举是最安全的方法。
• 平均数定性判断：不需要通过复杂的公式计算 ${\mu }_1$，只需对比“新进成员”与“老成员”的平均水平。
• 北京卷的概率统计题通常与实际生活联系紧密，阅读量中等，计算量适中，重在对数学定义的本质理解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：若第(3)问中加入的数据分别是 8.2, 8.2, 8.2，则 ${\mu }_0$ 与 ${\mu }_1$ 的关系是？（答案：相等）。
2. 知识关联：本题考查了样本数字特征（平均数）的稳健性，是统计学中的基础概念。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-18 解-频率估计概率
• 2017-全国卷II文-11 单-古典概型
• 2017-北京卷理-17 解-古典概型

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