2017-北京卷理-17 解-古典概型

本题导读

本题考查古典概型。核心在于列举法、公式法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2017年北京卷(理)） 为了研究一种新药的疗效，选 100 名患者随机分成两组，每组各 50 名，一组服药（图中以“*”表示），另一组不服药（图中以“+”表示）.一段时间后，记录了两组患者的生理指标 $x$ 和 $y$ 的数据，并制成散点图.

(1)从服药的 50 名患者中随机选出一人，求此人指标 $y$ 的值小于 60 的概率；

(2)从图中 $A,B,C,D$ 四人中随机选出两人，记 $\xi$ 为选出的两人中指标 $x$ 的值大于 1.7 的人数，求 $\xi$ 的分布列和数学期望 $E(\xi )$；

(3)试判断这 100 名患者中服药者指标 $y$ 数据的方差与未服药者指标 $y$ 数据的方差的大小.（只需写出结论）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（频率估算概率）：根据散点图，数出标记为“*”（服药者）且纵坐标 $y<60$ 的点数 $n$，利用 $P=\frac{n}{50}$ 计算。
2. 第二问（分布列与期望）：

• 首先通过图表观察 $A,B,C,D$ 四人的 $x$ 坐标。判断其中有几人满足 $x>1.7$。
• 确定 $\xi$ 可能的取值（0, 1, 2）。
• 利用组合数计算每个取值对应的概率，列出表格并计算期望。

3. 第三问（方差定性判断）：

• 方差反映数据的离散程度（波动大小）。
• 在散点图中，观察“*”在 $y$ 轴方向上的分布范围与“+”在 $y$ 轴方向上的分布范围。范围越广、分布越稀疏，方差通常越大。

✅【答案】

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小于 60 的患者人数为 15 人

✍【详细解析】

Abstract

(1)解： 由散点图可知，在 50 名服药患者（标记为“*”）中，指标 $y$ 的值小于 60 的患者人数为 15 人。 所以，随机选出一人，此人指标 $y$ 的值小于 60 的概率 $P=\frac{15}{50}=0.3$。

(2)解： 由图观察可知，$A,B,C,D$ 四人中，指标 $x$ 的值大于 1.7 的有 2 人（分别为 $A$ 和 $C$）。 因此，从 4 人中任选 2 人，选到指标 $x>1.7$ 的人数 $\xi$ 的可能取值为 0, 1, 2。 $P(\xi =0)=\frac{C_2^0\cdot C_2^2}{C_4^2}=\frac{1}{6}$； $P(\xi =1)=\frac{C_2^1\cdot C_2^1}{C_4^2}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$； $P(\xi =2)=\frac{C_2^2\cdot C_2^0}{C_4^2}=\frac{1}{6}$。 $\xi$ 的分布列如下表：

$\xi$	0	1	2
$P$	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{6}$

数学期望 $E(\xi )=0\times \frac{1}{6}+1\times \frac{2}{3}+2\times \frac{1}{6}=1$。

(3)结论： 服药者指标 $y$ 数据的方差大于未服药者指标 $y$ 数据的方差。 （注：从图中可见服药者的“*”在纵向分布更散、跨度更大；未服药者的“+”在纵向分布相对集中。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 数图能力：第一问的关键在于别数错点。北京卷常在图表题中设置大量散点，建议用铅笔做标记防止重数或漏数。
• 超几何分布模型：第二问本质上是超几何分布在小样本（4人选2人）中的应用。
• 直观统计量：方差的定性判断是近年来的热点。散点图越“扁”或“长”，在对应轴上的方差就越大。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以对比记录方差的不同观察视角：

1. 数值公式：$S^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\bar{x}{)}^2$。
2. 频率分布直方图：观察条形的宽度和高度分布，越“矮胖”方差越大。
3. 散点图：观察点在某一方向上的铺开程度。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2000-上海文-10 填-古典概型
• 2004-福建文-18 解-古典概型
• 2005-上海卷文-08 填-古典概型