2017-全国卷II文-11 单-古典概型

本题导读

考查有放回抽样下的古典概型概率计算，属于基础概率题。

📌【题干】

Question

（2017年全国卷II(文)） 从分别写有 $1,2,3,4,5$ 的 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再随机抽取 1 张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 ()

A. $\frac{1}{10}$　　　　　　B. $\frac{1}{5}$　　　　　　C. $\frac{3}{10}$　　　　　　D. $\frac{2}{5}$

🔍【思路分析】

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1. 因为是“放回抽样”，所以每次抽取都有 5 种可能，总的基本事件总数由分步乘法计数原理确定。
2. 列举或计算第一张数大于第二张数的情况数，代入古典概型概率公式。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

从 5 张卡片中随机抽取 1 张，放回后再抽 1 张，总的基本事件总数为： $n=5\times 5=25$ 种。 设第一张抽到的数为 $x$，第二张抽到的数为 $y$，其中 $x,y\in \{1,2,3,4,5\}$。 满足第一张数大于第二张数（即 $x>y$）的情况数：

• 当 $y=1$ 时，$x$ 可以是 $2,3,4,5$，共 4 种；
• 当 $y=2$ 时，$x$ 可以是 $3,4,5$，共 3 种；
• 当 $y=3$ 时，$x$ 可以是 $4,5$，共 2 种；
• 当 $y=4$ 时，$x$ 可以是 $5$，共 1 种；
• 当 $y=5$ 时，$x$ 没有大于 5 的数，共 0 种。 满足条件的基本事件总数为 $m=4+3+2+1=10$ 种。 因此，所求概率为： $P=\frac{m}{n}=\frac{10}{25}=\frac{2}{5}$。 故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：有放回抽样的古典概型。
2. 核心方法：列举法与分类计数法。
3. 避坑指南：注意“放回”意味着两次抽取的样本空间相同，总数是 $5\times 5=25$，而不是组合数。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高考概率与统计基础题。
2. 结论推广: 若从 $n$ 个数中放回抽取两次，总事件数为 $n^2$，其中 $x>y$ 的情况数为 $\frac{n(n-1)}{2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 14.01随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2000-上海文-10 填-古典概型
• 2004-福建文-18 解-古典概型
• 2005-上海卷文-08 填-古典概型