2016-四川卷文-05 单-不等式

本题导读

本题考查充分条件与必要条件的判定、不等式的性质，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(文)） 设 $p$: 实数 $x,y$ 满足 $x>1$ 且 $y>1$，$q$: 实数 $x,y$ 满足 $x+y>2$，则 $p$ 是 $q$ 的 ()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 不要不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析充分性：若 $x>1$ 且 $y>1$，将两不等式相加可得 $x+y>2$，判断 $p⟹q$ 是否成立。
2. 分析必要性：若 $x+y>2$，举反例（如 $x=3,y=-1$，满足 $3+(-1)=2>2$，但 $y>1$ 不成立），判断 $q⟹p$ 是否成立。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

• 充分性：若 $x>1$ 且 $y>1$，根据不等式的可加性，两式相加得 $x+y>1+1=2$，即 $x+y>2$ 成立。故 $p⟹q$ 成立，充分性成立。
• 必要性：若 $x+y>2$，例如取 $x=3,y=-1$，满足 $3+(-1)=2>2$（严格来说 $3+(-1)=2$ 不大于 2，换取 $x=3,y=0$， $3+0=3>2$，但 $y=0$ 不满足 $y>1$），此时 $p$ 不成立。故 $q/⟹p$，必要性不成立。 因此，$p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。 故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：充要条件判定、不等式求和。
2. 核心方法：直接推导法与反例排除法。
3. 避坑指南：判断必要性时，举反例要确保满足条件 $q$ 但不满足条件 $p$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考数学逻辑用语常规选择题。
2. 结论推广：不等式条件的充分必要性判定通常结合不等式的放大与缩小及特值检验。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-03 填-分式不等式
• 2017-全国卷III文-23 解-绝对值不等式
• 2017-全国卷III理-23 解-绝对值不等式

专题合集 (Series)