2016-四川卷文-18 解-解三角形

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理、三角恒等变换与正切值计算。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年四川卷(文)） 在 $△ABC$ 中，角 $A,B,C$ 所对的边分别是 $a,b,c$，且 $\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}=\frac{\sin C}{c}$.

(1) 证明：$\sin A\sin B=\sin C$；

(2) 若 $b^2+c^2-a^2=\frac{6}{5}bc$，求 $\tan B$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第 (1) 问：利用正弦定理将边化为角，或利用正余弦定理进行边角转化，化简证明 $\sin A\sin B=\sin C$.
2. 第 (2) 问：根据余弦定理求出 $\cos A$ 的值，进而求出 $\sin A$，结合 (1) 中的结论求出 $\cot B$ 或 $\tan B$.

✅【答案】

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第（1）问结论为sin𝐴sin𝐵=sin𝐶；第（2）问tan𝐵=4.

✍【详细解析】

Abstract

(1) 证明： 由正弦定理 $\frac{a}{\sin A}=\frac{b}{\sin B}=\frac{c}{\sin C}=2R$， 可得 $a=2R\sin A,b=2R\sin B,c=2R\sin C$. 代入已知条件 $\frac{\cos A}{a}+\frac{\cos B}{b}=\frac{\sin C}{c}$ 得： $\frac{\cos A}{2R\sin A}+\frac{\cos B}{2R\sin B}=\frac{\sin C}{2R\sin C}=\frac{1}{2R}$. 两边同乘以 $2R$ 并化简得： $\cot A+\cot B=1⟹\frac{\cos A}{\sin A}+\frac{\cos B}{\sin B}=1$. 通分得 $\frac{\sin B\cos A+\cos B\sin A}{\sin A\sin B}=1⟹\frac{\sin (A+B)}{\sin A\sin B}=1$. 因为在 $△ABC$ 中 $\sin (A+B)=\sin (\pi -C)=\sin C$， 所以 $\frac{\sin C}{\sin A\sin B}=1⟹\sin A\sin B=\sin C$.

(2) 求 $\tan B$： 由余弦定理及 $b^2+c^2-a^2=\frac{6}{5}bc$ 可得： $\cos A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\frac{\frac{6}{5}bc}{2bc}=\frac{3}{5}$. 因为 $A\in (0,\pi )$，故 $\sin A=\sqrt{1-{\cos }^{2}A}=\frac{4}{5}$. 由 (1) 知 $\cot A+\cot B=1$， 所以 $\cot B=1-\cot A=1-\frac{\cos A}{\sin A}=1-\frac{\frac{3}{5}}{\frac{4}{5}}=1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}$. 因此 $\tan B=\frac{1}{\cot B}=4$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：正余弦定理、三角函数恒等变换。
2. 核心方法：边角互化与诱导公式应用。
3. 避坑指南：注意三角形内角和定理 $\sin (A+B)=\sin C$ 的灵活运用。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考解三角形解答题的常规题型。
2. 结论推广：边角互化是解三角形问题中最核心的转化手段。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-11 填-正弦函数
• 2017-上海卷-18 解-三角综合
• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数

专题合集 (Series)